\(a^3 - b^3 = 56\) ve \(a - b = 2\) olduğuna göre, \(ab\) kaçtır?
A) 8Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı denklem verilmiş ve bizden $ab$ çarpımının değerini bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken, bildiğimiz cebirsel özdeşlikleri ve verilen bilgileri nasıl birleştireceğimizi düşünmeliyiz. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilenler:
Bizden istenen:
Matematikte çok sık kullandığımız önemli bir özdeşlik vardır: Küpler farkı özdeşliği. Bu özdeşlik şöyledir:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Bu özdeşlik, elimizdeki $a^3 - b^3$ ve $a - b$ değerlerini kullanmamız için harika bir başlangıç noktasıdır.
Şimdi, verilen değerleri özdeşlikte yerine yazalım:
$56 = (2)(a^2 + ab + b^2)$
Eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölelim:
$\frac{56}{2} = a^2 + ab + b^2$
$28 = a^2 + ab + b^2$
Bu denklemi biraz düzenleyelim:
$28 = (a^2 + b^2) + ab$
Şimdi elimizde $a^2 + b^2$ ifadesi var. Bu ifadeyi de $a-b$ ve $ab$ cinsinden yazabilirsek, soruyu çözebiliriz.
İki terimin farkının karesi özdeşliğini hatırlayalım:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Bize $a - b = 2$ verildiği için, bu değeri yerine yazalım:
$(2)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$4 = a^2 - 2ab + b^2$
Şimdi, bu denklemden $a^2 + b^2$ ifadesini çekelim. $-2ab$ terimini eşitliğin diğer tarafına atalım:
$a^2 + b^2 = 4 + 2ab$
Harika! Artık $a^2 + b^2$ ifadesini $ab$ cinsinden ifade edebiliyoruz.
Adım 3'te bulduğumuz denklemi hatırlayalım:
$28 = (a^2 + b^2) + ab$
Şimdi, Adım 4'te bulduğumuz $a^2 + b^2 = 4 + 2ab$ ifadesini bu denklemde yerine yazalım:
$28 = (4 + 2ab) + ab$
Denklemi basitleştirelim:
$28 = 4 + 3ab$
Şimdi $ab$ değerini bulmak için denklemi çözelim. Önce $4$'ü eşitliğin sol tarafına atalım:
$28 - 4 = 3ab$
$24 = 3ab$
Son olarak, her iki tarafı $3$'e bölelim:
$\frac{24}{3} = ab$
$ab = 8$
Böylece $ab$ değerini $8$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
