Gerektirme nedir Test 1

Bir matematik öğretmeni tahtaya "x > 5 ise x² > 25" yazmıştır. Bu önerme için aşağıdaki örneklerden hangisi önermenin yanlış olduğunu gösterir?

A) x = 6 için x² = 36
B) x = -6 için x² = 36
C) x = 4 için x² = 16
D) x = 5 için x² = 25

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir matematik önermesinin yanlış olduğunu gösteren bir örnek bulmamız isteniyor. Öncelikle önermeyi ve bir önermenin ne zaman yanlış olduğunu hatırlayalım.

• Verilen Önerme: "$x > 5$ ise $x^2 > 25$"
• Bu önerme, "$P$ ise $Q$" şeklinde bir koşullu önermedir. Burada:

  $P$: "$x > 5$" (öncül)

  $Q$: "$x^2 > 25$" (sonuç)

• Bir "$P$ ise $Q$" önermesi, sadece ve sadece $P$ doğru iken $Q$ yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda (yani $P$ yanlışsa veya hem $P$ hem $Q$ doğruysa) önerme doğru kabul edilir.

Şimdi verilen önermeyi matematiksel olarak inceleyelim: Eğer $x > 5$ ise, $x$ pozitif bir sayıdır. Pozitif sayılarla eşitsizliklerin her iki tarafının karesini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirmez. Yani, $x > 5$ ise $x^2 > 5^2$ olur, bu da $x^2 > 25$ demektir. Bu durumda, verilen "$x > 5$ ise $x^2 > 25$" önermesi matematiksel olarak her zaman doğrudur.

Matematiksel olarak her zaman doğru olan bir önermeyi yanlış yapan bir örnek bulmak mümkün değildir. Ancak, bu tür sorularda bazen, önermenin "tersinin" veya "karşıtının" yanlış olduğunu gösteren bir durum aranır. Yani, "$x^2 > 25$ ise $x > 5$" önermesinin yanlış olduğunu gösteren bir örnek isteniyor olabilir. Bu durumu göz önünde bulundurarak seçenekleri inceleyelim:

• A) $x = 6$ için $x^2 = 36$:

  Öncül ($x > 5$): $6 > 5$ (Doğru)

  Sonuç ($x^2 > 25$): $36 > 25$ (Doğru)

  Öncül doğru ve sonuç doğru olduğu için, "$P$ ise $Q$" önermesi doğrudur. Bu, önermenin yanlış olduğunu göstermez.

• B) $x = -6$ için $x^2 = 36$:

  Öncül ($x > 5$): $-6 > 5$ (Yanlış)

  Sonuç ($x^2 > 25$): $36 > 25$ (Doğru)

  Öncül ($P$) yanlış olduğu için, verilen "$P$ ise $Q$" önermesi mantıksal olarak doğrudur. Bu da önermenin yanlış olduğunu göstermez.

  Ancak, eğer soruda kastedilen, "$x^2 > 25$ ise $x > 5$" (yani verilen önermenin tersi) önermesinin yanlış olduğunu gösteren bir örnek ise, bu durumda $x = -6$ uygun bir örnektir:

  Ters önermenin öncülü ($x^2 > 25$): $(-6)^2 > 25 \Rightarrow 36 > 25$ (Doğru)

  Ters önermenin sonucu ($x > 5$): $-6 > 5$ (Yanlış)

  Bu durumda, ters önermenin öncülü doğru iken sonucu yanlış olduğu için, ters önerme ($x^2 > 25$ ise $x > 5$) yanlış olur. Bu tür soruların amacı genellikle, bir koşulun sağlanmasının sonucun her zaman sağlanacağı anlamına gelmediğini göstermektir.

• C) $x = 4$ için $x^2 = 16$:

  Öncül ($x > 5$): $4 > 5$ (Yanlış)

  Sonuç ($x^2 > 25$): $16 > 25$ (Yanlış)

  Öncül yanlış olduğu için, "$P$ ise $Q$" önermesi doğrudur. Bu, önermenin yanlış olduğunu göstermez.

• D) $x = 5$ için $x^2 = 25$:

  Öncül ($x > 5$): $5 > 5$ (Yanlış)

  Sonuç ($x^2 > 25$): $25 > 25$ (Yanlış)

  Öncül yanlış olduğu için, "$P$ ise $Q$" önermesi doğrudur. Bu, önermenin yanlış olduğunu göstermez.

Yukarıdaki analizden de görüldüğü gibi, verilen "$x > 5$ ise $x^2 > 25$" önermesi her zaman doğrudur ve hiçbir seçenek bu önermeyi mantıksal olarak yanlış yapmaz. Ancak, sorunun amacı genellikle, "$x^2 > 25$" koşulunu sağlayan ancak "$x > 5$" koşulunu sağlamayan bir $x$ değeri bulmaktır. Bu durum, "$x^2 > 25$ ise $x > 5$" şeklindeki ters önermenin yanlış olduğunu gösterir ve bu tür sorularda "önermenin yanlış olduğunu gösteren örnek" olarak kastedilebilir.

Bu bağlamda, $x = -6$ değeri için $x^2 = 36$ olduğu için $x^2 > 25$ koşulu sağlanır, ancak $x = -6$ olduğu için $x > 5$ koşulu sağlanmaz. Bu durum, "$x^2 > 25$ ise $x > 5$" önermesinin yanlış olduğunu gösterir.

Cevap B seçeneğidir.