Gerektirme nedir Test 1

Bir matematik probleminin çözümünde "n çift sayı ise n² çift sayıdır" ifadesi kullanılıyor. Bu ifadenin tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A) n² çift sayı ise n çift sayıdır
B) n çift sayı değilse n² çift sayı değildir
C) n² çift sayı değilse n çift sayı değildir
D) n tek sayı ise n² tek sayıdır

Bir matematiksel önermenin farklı dönüşümleri vardır: tersi, karşıtı ve karşıt tersi. Bu kavramları adım adım inceleyelim.

• 1. Orijinal Önermeyi Tanımlama:

  Verilen ifade "n çift sayı ise n² çift sayıdır" şeklindedir. Bu bir koşullu önermedir ve $P \implies Q$ şeklinde gösterilir.

  • Hipotez (P): "$n$ çift sayıdır"
  • Hüküm (Q): "$n^2$ çift sayıdır"
• 2. Hipotez ve Hükmün Değillerini Bulma:

  Önermelerin değilleri (olumsuzları) aşağıdaki gibidir:

  • $\neg P$ (P'nin değili): "$n$ çift sayı değildir" (yani $n$ tek sayıdır)
  • $\neg Q$ (Q'nun değili): "$n^2$ çift sayı değildir" (yani $n^2$ tek sayıdır)
• 3. Önermenin Dönüşümlerini İnceleme:

  Şimdi orijinal önermenin ( $P \implies Q$ ) farklı dönüşümlerini ve bunların ne anlama geldiğini görelim:

  • a) Karşıtı (Converse): Hüküm ile hipotezin yer değiştirmesidir. Yani $Q \implies P$ şeklindedir.

    Orijinal önermenin karşıtı: "Eğer $n^2$ çift sayı ise, $n$ çift sayıdır."

  • b) Tersi (Inverse): Hipotez ve hükmün değillerinin alınmasıdır. Yani $\neg P \implies \neg Q$ şeklindedir.

    Orijinal önermenin tersi: "Eğer $n$ çift sayı değilse, $n^2$ çift sayı değildir." (Veya "Eğer $n$ tek sayı ise, $n^2$ tek sayıdır.")

  • c) Karşıt Tersi (Contrapositive): Hem hüküm ile hipotezin yer değiştirmesi hem de değillerinin alınmasıdır. Yani $\neg Q \implies \neg P$ şeklindedir.

    Orijinal önermenin karşıt tersi: "Eğer $n^2$ çift sayı değilse, $n$ çift sayı değildir." (Veya "Eğer $n^2$ tek sayı ise, $n$ tek sayıdır.")

• 4. Seçenekleri İnceleme:

  Şimdi verilen seçenekleri yukarıdaki tanımlarla karşılaştıralım:

  • A) n² çift sayı ise n çift sayıdır: Bu, hükümden hipoteze geçiş olduğu için önermenin karşıtıdır ($Q \implies P$).
  • B) n çift sayı değilse n² çift sayı değildir: Bu, hipotezin değilinden hükmün değiline geçiş olduğu için önermenin tersidir ($\neg P \implies \neg Q$).
  • C) n² çift sayı değilse n çift sayı değildir: Bu, hükmün değilinden hipotezin değiline geçiş olduğu için önermenin karşıt tersidir ($\neg Q \implies \neg P$).
  • D) n tek sayı ise n² tek sayıdır: Bu ifade, "n çift sayı değilse n² çift sayı değildir" ifadesiyle aynı anlama gelir ve önermenin tersidir ($\neg P \implies \neg Q$).
• 5. Sonuç:

  Soruda "tersi" ifadesi kullanılmış olsa da, matematiksel mantıkta "tersi" (inverse) ve "karşıt tersi" (contrapositive) farklı kavramlardır. Verilen doğru cevap C seçeneği, önermenin karşıt tersidir. Karşıt tersi, orijinal önerme ile mantıksal olarak denktir. Bu durumda, sorunun "tersi" derken aslında "karşıt tersi"ni kastettiği anlaşılmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.