0/0 belirsizliği nedir Test 1

Bir fonksiyonun x=1 noktasındaki limiti araştırılırken (1-1)/(1-1) belirsizliği ile karşılaşılıyor. Fonksiyon f(x) = (xⁿ - 1)/(xᵐ - 1) şeklinde verildiğine göre, n=2 ve m=3 için limit değeri kaçtır?

A) 0
B) 1/2
C) 2/3
D) 3/2

Bir fonksiyonun limitini araştırırken $\frac{0}{0}$ gibi bir belirsizlikle karşılaştığımızda, bu belirsizliği ortadan kaldırmak için genellikle fonksiyonu sadeleştirmemiz veya L'Hôpital kuralını kullanmamız gerekir. Bu soruda, verilen fonksiyonu çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirerek limiti bulacağız.

• Adım 1: Fonksiyonu ve Limit Noktasını Belirleme

  Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^n - 1}{x^m - 1}$ şeklindedir. Soruda $n=2$ ve $m=3$ olarak verilmiştir. Bu durumda fonksiyonumuz:

  $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$

  Limitini araştırdığımız nokta $x=1$'dir.

• Adım 2: Belirsizliği Tespit Etme

  $x=1$ değerini fonksiyonda yerine koyduğumuzda:

  $f(1) = \frac{1^2 - 1}{1^3 - 1} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$

  Bu bir belirsizlik durumudur. Bu, limitin var olabileceği ancak doğrudan yerine koyma ile bulunamayacağı anlamına gelir.

• Adım 3: Fonksiyonu Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme

  Belirsizliği gidermek için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekir. $x=1$ noktasında $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluştuğu için, hem payın hem de paydanın bir $(x-1)$ çarpanı içermesi gerektiğini biliyoruz.

  Payı Çarpanlara Ayırma: Payımız $x^2 - 1$ bir iki kare farkıdır. Hatırlayalım: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

  $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

  Paydayı Çarpanlara Ayırma: Paydamız $x^3 - 1$ bir iki küp farkıdır. Hatırlayalım: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

  $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2 + x + 1)$

  Şimdi fonksiyonu çarpanlara ayrılmış haliyle yeniden yazalım:

  $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)}$

  $x \neq 1$ olduğu sürece $(x-1)$ terimlerini sadeleştirebiliriz. Limit alırken $x$ değeri $1$'e çok yaklaştığı için, $x$ hiçbir zaman tam olarak $1$ olmaz, bu yüzden sadeleştirme yapabiliriz.

  $f(x) = \frac{x+1}{x^2 + x + 1}$ ( $x \neq 1$ için)

• Adım 4: Sadeleştirilmiş Fonksiyonun Limitini Bulma

  Şimdi sadeleştirilmiş fonksiyonda $x \to 1$ limitini alabiliriz. Artık $x=1$ yerine koyduğumuzda bir belirsizlik oluşmayacaktır.

  $\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x^2 + x + 1} = \frac{1+1}{1^2 + 1 + 1}$

  $= \frac{2}{1 + 1 + 1}$

  $= \frac{2}{3}$

Bu durumda, fonksiyonun $x=1$ noktasındaki limiti $\frac{2}{3}$'tür.

Cevap C seçeneğidir.