Bir öğrenci, 360 sayısının pozitif bölenlerinin toplamını hesaplamak istiyor. 360 = 2³ × 3² × 5¹ olduğuna göre, hangi işlem sırasını izlemelidir?
A) (2⁴ - 1)/(2 - 1) × (3³ - 1)/(3 - 1) × (5² - 1)/(5 - 1)
B) (2³ - 1)/(2 - 1) × (3² - 1)/(3 - 1) × (5¹ - 1)/(5 - 1)
C) (2⁴ - 1)/(2 - 1) × (3³ - 1)/(3 - 1) × (5² - 1)/(5 - 1)
D) (2⁴ - 1)/(2 - 1) × (3³ - 1)/(3 - 1) × (5² - 1)/(5 - 1)
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım çözerek, pozitif bölenlerin toplamını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Adım 1: Asal Çarpanlara Ayırma
- Soruda zaten 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali verilmiş: 360 = 2³ × 3² × 5¹
- Bu, 360'ın 2'nin küpü (2³), 3'ün karesi (3²) ve 5'in birinci kuvveti (5¹) ile çarpımı şeklinde yazılabileceği anlamına gelir.
Adım 2: Formülü Hatırlama
- Bir sayının pozitif bölenlerinin toplamını bulmak için şu formülü kullanırız:
(p₁ᵃ⁺¹ - 1) / (p₁ - 1) × (p₂ᵇ⁺¹ - 1) / (p₂ - 1) × (p₃ᶜ⁺¹ - 1) / (p₃ - 1) × ...
Burada p₁, p₂, p₃, ... asal çarpanları, a, b, c, ... ise bu asal çarpanların kuvvetlerini temsil eder.
Adım 3: Formülü Uygulama
- 360 = 2³ × 3² × 5¹ ifadesinde, p₁ = 2, a = 3; p₂ = 3, b = 2; p₃ = 5, c = 1'dir.
- Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
(2³⁺¹ - 1) / (2 - 1) × (3²⁺¹ - 1) / (3 - 1) × (5¹⁺¹ - 1) / (5 - 1)
- Bu da şu anlama gelir:
(2⁴ - 1) / (2 - 1) × (3³ - 1) / (3 - 1) × (5² - 1) / (5 - 1)
Adım 4: Seçenekleri Karşılaştırma
- Bulduğumuz ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin doğru olduğunu görüyoruz:
(2⁴ - 1)/(2 - 1) × (3³ - 1)/(3 - 1) × (5² - 1)/(5 - 1)
Sonuç
Gördüğünüz gibi, asal çarpanlara ayırma ve doğru formülü kullanarak pozitif bölenlerin toplamını kolayca bulabiliriz. Unutmayın, matematik pratik yaparak daha da kolaylaşır!
Cevap A seçeneğidir.
