🎓 Tam sayı bölenleri toplamı nasıl bulunur Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, bir sayının tam sayı bölenlerinin toplamını bulmak için gerekli temel kavramları, asal çarpanlara ayırma yöntemini ve ilgili formülleri sade bir dille özetlemektedir.
📌 Asal Çarpanlara Ayırma: Temel Adım
Bir sayının bölenlerini bulmanın ve bölenler toplamını hesaplamanın ilk ve en önemli adımı, o sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır.
- Asal sayı, 1 ve kendisinden başka böleni olmayan 1'den büyük sayılardır (Örn: 2, 3, 5, 7, 11...).
- Her bileşik sayı (asal olmayan sayı), asal sayıların çarpımı şeklinde tek bir şekilde yazılabilir.
- Örnek: 12 sayısını asal çarpanlarına ayırırsak, 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹ şeklinde yazarız.
💡 İpucu: Asal çarpanlara ayırma işlemini doğru yapmak, diğer tüm hesaplamaların temelidir. Bu adımı hatasız yaptığınızdan emin olun!
📌 Pozitif Tam Sayı Bölenleri (PTSB)
Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının pozitif tam sayı bölenleri denir.
- Örnek: 12 sayısının pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.
- Asal çarpanlarına ayrılmış bir sayı (N = ax × by × cz ...) için, pozitif bölen sayısını (x+1)(y+1)(z+1) formülüyle buluruz.
- Örnek: 12 = 2² × 3¹ için pozitif bölen sayısı (2+1)(1+1) = 3 × 2 = 6'dır. (Yukarıdaki 6 bölenle eşleşiyor.)
⚠️ Dikkat: Bu testte bölenlerin toplamı önemli olsa da, bölenleri tanımak ve sayısını bilmek konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olur.
📌 Pozitif Tam Sayı Bölenleri Toplamı (PTSBT)
Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını bulmak için özel bir formül kullanırız.
- Sayı N = ax × by × cz şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa, PTSBT formülü şöyledir:
- PTSBT = ((ax+1-1)/(a-1)) × ((by+1-1)/(b-1)) × ((cz+1-1)/(c-1))
- Örnek: 12 = 2² × 3¹ için PTSBT hesaplayalım:
- PTSBT = ((22+1-1)/(2-1)) × ((31+1-1)/(3-1))
- PTSBT = ((2³-1)/1) × ((3²-1)/2)
- PTSBT = (7/1) × (8/2) = 7 × 4 = 28.
💡 İpucu: Bu formül, her asal çarpanın sıfırıncı kuvvetinden başlayarak en yüksek kuvvete kadar olan tüm değerlerinin toplamını alıp çarpmak anlamına gelir. Örneğin, 2² için (2⁰+2¹+2²) = (1+2+4) = 7.
📌 Tam Sayı Bölenleri Toplamı (TSBT)
Bir sayının tam sayı bölenleri, hem pozitif hem de negatif bölenleri içerir.
- Örnek: 12 sayısının tam sayı bölenleri: -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.
- Gördüğünüz gibi, her pozitif bölen için, onun negatif eşleniği de bir tam sayı bölendir.
- Yani, 1'in böleni -1, 2'nin böleni -2 gibi...
- Bu durumda, her pozitif bölenin bir negatif eşleniği olduğu için, bu bölenlerin toplamı her zaman birbirini sıfırlar.
⚠️ Dikkat: Bu, çoğu öğrencinin gözden kaçırdığı veya karıştığı çok önemli bir noktadır. "Tam sayı bölenleri toplamı" dendiğinde, pozitif ve negatif bölenlerin toplamını düşünmeliyiz.
📝 Özetle: Bir sayının pozitif tam sayı bölenleri toplamı ne olursa olsun, tam sayı bölenleri toplamı **her zaman sıfırdır**.
