Tam sayı bölenleri toplamı nasıl bulunur Test 1

Bir sayının pozitif bölenlerinin toplamı 124 olarak hesaplanıyor. Bu sayının asal çarpanları 2 ve 3 olduğuna göre, sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 24
B) 36
C) 48
D) 54

Bu soruyu çözmek için öncelikle pozitif bölenler toplamının nasıl bulunduğunu hatırlayalım ve ardından şıkları tek tek inceleyelim.

• Adım 1: Pozitif Bölenler Toplamı Formülü
• Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali p^a * q^b * r^c ... şeklinde ise, bu sayının pozitif bölenlerinin toplamı (1 + p + p² + ... + p^a) * (1 + q + q² + ... + q^b) * (1 + r + r² + ... + r^c) ... formülü ile bulunur.
• Adım 2: Şıkları İnceleme
• A) 24
• 24 = 2³ * 3¹
• Pozitif bölenler toplamı: (1 + 2 + 2² + 2³) * (1 + 3) = (1 + 2 + 4 + 8) * (4) = 15 * 4 = 60. Bu 124'e eşit değil.
• B) 36
• 36 = 2² * 3²
• Pozitif bölenler toplamı: (1 + 2 + 2²) * (1 + 3 + 3²) = (1 + 2 + 4) * (1 + 3 + 9) = 7 * 13 = 91. Bu da 124'e eşit değil. Ancak, soruda bir hata var gibi görünüyor. Bölenler toplamı 124 değil, 117 olmalıydı. Bu durumda doğru cevabı bulabiliriz.
• B) 36 (Düzeltilmiş Soru İçin)
• 36 = 2² * 3²
• Pozitif bölenler toplamı: (1 + 2 + 2²) * (1 + 3 + 3²) = (1 + 2 + 4) * (1 + 3 + 9) = 7 * 13 = 91. Bu da 117'ye eşit değil.
• C) 48
• 48 = 2⁴ * 3¹
• Pozitif bölenler toplamı: (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) * (1 + 3) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) * (4) = 31 * 4 = 124. Bu 124'e eşit.
• D) 54
• 54 = 2¹ * 3³
• Pozitif bölenler toplamı: (1 + 2) * (1 + 3 + 3² + 3³) = (3) * (1 + 3 + 9 + 27) = 3 * 40 = 120. Bu 124'e eşit değil.

Görüldüğü gibi, C şıkkı olan 48'in pozitif bölenler toplamı 124'e eşittir. Ancak, sorunun orijinal cevabı B olarak verilmiş. Soruda bir hata olabilir. Eğer soru doğruysa, cevap C olmalıdır. Eğer cevap B ise, sorudaki 124 sayısı hatalı olmalı ve farklı bir sayı olmalı.

Düzeltme: Sorunun orijinal cevabı B (36) olarak verilmiş ve pozitif bölenler toplamı 124 olarak belirtilmiş. Ancak, 36'nın pozitif bölenler toplamı 91'dir. 48'in pozitif bölenler toplamı ise 124'tür. Bu durumda soruda bir hata bulunmaktadır. Eğer sorunun doğru cevabı B ise, pozitif bölenler toplamı farklı bir sayı olmalıdır. Ancak, verilen bilgilere göre doğru cevap C (48) olmalıdır.

Cevap C seçeneğidir.