10. Sınıf 30-60-90 ve 45-45-90 Üçgeni Trigonometrik Oranları Test 1

Bir koordinat düzleminde, $A(0,0)$ noktasından başlayarak $x$-ekseni üzerinde $B(4,0)$ noktasına kadar bir doğru parçası çiziliyor. $B$ noktasından $y$-eksenine paralel olarak yukarı doğru $C$ noktasına kadar bir doğru parçası çiziliyor. $C$ noktasının $x$-koordinatı $4$ ve $y$-koordinatı $4\sqrt{3}$'tür. Eğer $A$ noktasından $C$ noktasına bir doğru parçası çizilirse, bu doğru parçasının $x$-ekseni ile yaptığı açının sinüs değeri kaçtır?

A) $1/2$
B) $\sqrt{2}/2$
C) $\sqrt{3}/2$
D) $1$

İşte bu soruyu adım adım çözelim:

• Adım 1: Koordinatları Anlama

  Öncelikle verilen noktaların koordinatlarını anlayalım:

  • $A(0,0)$: Başlangıç noktası (orijin).
  • $B(4,0)$: $x$-ekseni üzerinde, orijinden 4 birim uzaklıkta.
  • $C(4, 4\sqrt{3})$: $x$-koordinatı 4, $y$-koordinatı $4\sqrt{3}$ olan nokta.
• Adım 2: Doğru Parçasını Çizme ve Açıyı Belirleme

  $A$ noktasından $C$ noktasına bir doğru parçası çizdiğimizde, bu doğru parçasının $x$-ekseni ile yaptığı açıyı bulmamız gerekiyor. Bu açıya $\theta$ diyelim.

• Adım 3: Dik Üçgen Oluşturma

  $A$, $B$ ve $C$ noktalarını kullanarak bir dik üçgen oluşturabiliriz. Bu dik üçgende:

  • $AB$ kenarı, $x$-ekseni üzerinde ve uzunluğu 4 birimdir.
  • $BC$ kenarı, $y$-eksenine paralel ve uzunluğu $4\sqrt{3}$ birimdir.
  • $AC$ kenarı ise hipotenüsümüzdür.
• Adım 4: Sinüs Değerini Hesaplama

  $\theta$ açısının sinüs değeri, karşı kenarın hipotenüse oranıdır. Yani, $\sin(\theta) = \frac{BC}{AC}$.

  Ancak, $AC$ uzunluğunu henüz bilmiyoruz. Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

  Yerine koyarsak: $AC^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64$.

  Dolayısıyla, $AC = \sqrt{64} = 8$.

  Şimdi sinüs değerini hesaplayabiliriz: $\sin(\theta) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cevap C seçeneğidir.