🎓 10. Sınıf 30-60-90 ve 45-45-90 Üçgeni Trigonometrik Oranları Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, 10. sınıf müfredatında yer alan 30-60-90 ve 45-45-90 özel dik üçgenlerinin özelliklerini ve bu üçgenlerdeki temel trigonometrik oranları (sinüs, kosinüs, tanjant) anlamanıza yardımcı olmak için hazırlanmıştır. Bu konuları iyi kavramak, testteki başarı şansınızı artıracaktır.
📌 Temel Trigonometrik Oranlar Nedir?
Dik üçgenlerde, bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantı, o açının karşısındaki, komşusundaki kenar ve hipotenüs arasındaki oranları ifade eder. Bu oranlar, açının büyüklüğüne göre sabittir.
- Sinüs (sin): Bir açının karşısındaki kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranıdır. Yani, $\sin(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$.
- Kosinüs (cos): Bir açının komşusundaki kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranıdır. Yani, $\cos(\text{açı}) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$.
- Tanjant (tan): Bir açının karşısındaki kenarın uzunluğunun komşusundaki kenarın uzunluğuna oranıdır. Yani, $\tan(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}}$.
💡 İpucu: Bu oranları akılda tutmak için "SOH CAH TOA" gibi kısaltmalar kullanabilirsiniz. SOH (Sinüs = Karşı/Hipotenüs), CAH (Kosinüs = Komşu/Hipotenüs), TOA (Tanjant = Karşı/Komşu).
📐 45-45-90 Özel Dik Üçgeni
45-45-90 üçgeni, iki iç açısı $45^\circ$ olan bir ikizkenar dik üçgendir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında özel bir ilişki bulunur.
- Kenar Oranları: $45^\circ$lik açıların karşısındaki kenarlar eşit uzunluktadır (diyelim ki $a$). $90^\circ$lik açının karşısındaki hipotenüs ise bu kenarların $\sqrt{2}$ katıdır. Yani kenar oranları $a, a, a\sqrt{2}$ şeklindedir.
- Örnek: Eğer bir kenar $5$ birim ise, diğer kenar da $5$ birim, hipotenüs ise $5\sqrt{2}$ birimdir.
- Trigonometrik Oranlar:
- $\sin 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\tan 45^\circ = \frac{a}{a} = 1$
⚠️ Dikkat: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ifadesi genellikle payda rasyonel yapılarak $\frac{\sqrt{2}}{2}$ şeklinde yazılır. Cevaplarda bu formata dikkat edin.
📐 30-60-90 Özel Dik Üçgeni
30-60-90 üçgeni, iç açıları $30^\circ$, $60^\circ$ ve $90^\circ$ olan özel bir dik üçgendir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında da belirli bir oran vardır.
- Kenar Oranları:
- $30^\circ$lik açının karşısındaki kenar en kısa kenardır (diyelim ki $a$).
- $90^\circ$lik açının karşısındaki hipotenüs, $30^\circ$nin karşısındaki kenarın iki katıdır ($2a$).
- $60^\circ$lik açının karşısındaki kenar, $30^\circ$nin karşısındaki kenarın $\sqrt{3}$ katıdır ($a\sqrt{3}$).
Yani kenar oranları $a, a\sqrt{3}, 2a$ şeklindedir.
- Örnek: Eğer $30^\circ$nin karşısındaki kenar $4$ birim ise, $60^\circ$nin karşısı $4\sqrt{3}$ birim, $90^\circ$nin karşısı (hipotenüs) ise $8$ birimdir.
- Trigonometrik Oranlar:
- $\sin 30^\circ = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$
- $\cos 30^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\tan 30^\circ = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- $\sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos 60^\circ = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$
- $\tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$
💡 İpucu: Bu değerleri ezberlemek yerine, her iki özel üçgeni de zihninizde canlandırıp kenar oranlarından türetmeye çalışmak daha kalıcı olacaktır. Bir elin parmaklarını kullanarak da bu değerleri hatırlamanın pratik yolları vardır!
📝 Genel Çözüm İpuçları
Test sorularını çözerken aşağıdaki adımları izlemek size yardımcı olabilir:
- Soruda verilen üçgenin hangi özel üçgen olduğunu belirleyin (45-45-90 mı, 30-60-90 mı?).
- Üçgenin kenar uzunlukları arasındaki oranları doğru bir şekilde uygulayın.
- Hangi trigonometrik oranın istendiğini dikkatlice okuyun (sinüs mü, kosinüs mü, tanjant mı?).
- İstenen açıya göre "karşı", "komşu" ve "hipotenüs" kenarlarını doğru tespit edin.
- Oranları yazarken ve sadeleştirirken işlem hatası yapmamaya özen gösterin.
Başarılar dileriz! 🚀
