Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, mutlak değer içeren bir eşitsizliği nasıl çözeceğimizi ve bu eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, matematiksel düşünme becerilerinizi geliştirmek için harika bir fırsattır.
Mutlak Değer Eşitsizliklerini Anlamak
- Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Örneğin, $|5|$ değeri $5$'tir ve $|-5|$ değeri de $5$'tir. Çünkü hem $5$ hem de $-5$ sayısının sıfıra olan uzaklığı $5$ birimdir.
- $|a| < b$ şeklindeki bir eşitsizlik, $a$ sayısının $0$'a olan uzaklığının $b$'den küçük olduğu anlamına gelir. Bu durum, $a$ sayısının $-b$ ile $b$ arasında olduğunu gösterir. Yani, $|a| < b$ eşitsizliği, $ -b < a < b $ şeklinde yazılabilir.
Eşitsizliği Çözme Adımları
- Adım 1: Mutlak değeri açma.
- Verilen eşitsizlik $|x - 3| < 5$'tir. Yukarıda öğrendiğimiz kuralı uygulayarak, bu eşitsizliği mutlak değerden kurtarabiliriz. Burada $a$ yerine $(x - 3)$ ve $b$ yerine $5$ gelmektedir.
- Bu durumda eşitsizliğimiz şu hale gelir: $ -5 < x - 3 < 5 $.
- Adım 2: $x$'i yalnız bırakma.
- Amacımız, eşitsizliğin ortasında sadece $x$ kalmasını sağlamaktır. Bunun için, eşitsizliğin her üç tarafına da $3$ eklememiz gerekir. Unutmayın, eşitsizliklerde her tarafa aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- $ -5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3 $
- Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu şekli alır: $ -2 < x < 8 $.
- Adım 3: $x$ tam sayılarını belirleme.
- Şimdi, $x$ sayısının $-2$'den büyük ve $8$'den küçük olan tam sayı değerlerini bulmalıyız.
- Bu tam sayılar şunlardır: $ -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 $.
- Adım 4: Tam sayıların toplamını bulma.
- Bulduğumuz tam sayıları toplayalım:
- $ (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 $
- Burada dikkat ederseniz, $ -1 $ ve $ 1 $ birbirini götürür. $0$ ise toplama işleminde etkisiz elemandır.
- Geriye kalan sayıları toplayalım: $ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 $.
- $ 2 + 3 = 5 $
- $ 5 + 4 = 9 $
- $ 9 + 5 = 14 $
- $ 14 + 6 = 20 $
- $ 20 + 7 = 27 $.
Sonuç ve Cevap
- Eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı $27$ olarak bulunmuştur.
Cevap C seçeneğidir.
