Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki doğru arasındaki açının kosinüs değerini bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için farklı yöntemler kullanabiliriz. En yaygın iki yöntemden biri doğruların normal vektörlerini kullanmak, diğeri ise eğimlerini kullanmaktır. Her iki yöntemi de adım adım inceleyelim.
Yöntem 1: Normal Vektörleri Kullanarak Çözüm
Adım 1: Doğruların Normal Vektörlerini Belirleme
- Genel denklemi $Ax+By+C=0$ olan bir doğrunun normal vektörü $\vec{n}=(A, B)$ olarak alınabilir. Normal vektör, doğruya dik olan bir vektördür.
- $d_1: 5x-12y+8=0$ doğrusunun normal vektörü $\vec{n_1} = (5, -12)$'dir.
- $d_2: 12x+5y-20=0$ doğrusunun normal vektörü $\vec{n_2} = (12, 5)$'tir.
Adım 2: Normal Vektörlerin Skaler (İç) Çarpımını Hesaplama
- İki vektör arasındaki açının kosinüsü, vektörlerin skaler çarpımı ile bulunabilir. Ancak burada daha kolay bir yol var: Önce skaler çarpımı hesaplayalım.
- İki vektörün skaler çarpımı, karşılıklı bileşenlerinin çarpımlarının toplamıdır: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (x_1 \cdot x_2) + (y_1 \cdot y_2)$.
- $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(12) + (-12)(5)$
- $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 60 - 60$
- $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$
Adım 3: Skaler Çarpımın Anlamını Yorumlama
- İki vektörün skaler çarpımı $0$ ise, bu vektörler birbirine dik (ortogonal) demektir.
- Doğruların normal vektörleri birbirine dik ise, doğruların kendileri de birbirine diktir.
- Yani, $d_1$ ve $d_2$ doğruları birbirine diktir.
Adım 4: Doğrular Arasındaki Açının Kosinüs Değerini Bulma
- Birbirine dik olan doğrular arasındaki açı $90^\circ$'dir.
- Bu açının kosinüs değeri $\cos(90^\circ)$'dir.
- Trigonometrik bir bilgi olarak, $\cos(90^\circ) = 0$'dır.
Yöntem 2: Eğimleri Kullanarak Çözüm
Adım 1: Doğruların Eğimlerini Belirleme
- Genel denklemi $Ax+By+C=0$ olan bir doğrunun eğimi $m = -\frac{A}{B}$ formülüyle bulunabilir.
- $d_1: 5x-12y+8=0$ doğrusunun eğimi $m_1 = -\frac{5}{-12} = \frac{5}{12}$'dir.
- $d_2: 12x+5y-20=0$ doğrusunun eğimi $m_2 = -\frac{12}{5}$'tir.
Adım 2: Eğimlerin Çarpımını Hesaplama
- İki doğrunun birbirine dik olup olmadığını anlamak için eğimlerinin çarpımına bakarız.
- $m_1 \cdot m_2 = \left(\frac{5}{12}\right) \cdot \left(-\frac{12}{5}\right)$
- $m_1 \cdot m_2 = -1$
Adım 3: Eğimlerin Çarpımının Anlamını Yorumlama
- İki doğrunun eğimleri çarpımı $-1$ ise, bu doğrular birbirine dik (perpendiküler) demektir.
- Yani, $d_1$ ve $d_2$ doğruları birbirine diktir.
Adım 4: Doğrular Arasındaki Açının Kosinüs Değerini Bulma
- Birbirine dik olan doğrular arasındaki açı $90^\circ$'dir.
- Bu açının kosinüs değeri $\cos(90^\circ)$'dir.
- $\cos(90^\circ) = 0$'dır.
Her iki yöntem de doğruların dik olduğunu ve aralarındaki açının kosinüs değerinin $0$ olduğunu göstermektedir.
Cevap A seçeneğidir.
