Bir yay sarkacının periyodu 2 saniyedir. Aynı yayın ucuna 4 kg kütleli bir cisim asılırsa yeni periyot kaç saniye olur?
A) 1Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Yay sarkacının periyodunu etkileyen faktörleri ve formülü hatırlayarak doğru cevaba ulaşacağız.
Yay sarkacının periyodu (T) aşağıdaki formülle bulunur:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Burada:
İlk durumda periyot $T_1 = 2$ saniye. Kütleyi $m_1$ olarak belirtelim. O zaman:
$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$
İkinci durumda kütle $m_2 = 4$ kg. Yeni periyodu $T_2$ olarak belirtelim. O zaman:
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4}{k}}$
İki denklemi birbirine oranlayalım:
$\frac{T_2}{2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{4}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}}$
Sadeleştirmeleri yapalım:
$\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{4}{m_1}}$
İlk durumdaki denklemden $2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$ ifadesini elde etmiştik. Her iki tarafın karesini alırsak:
$4 = 4\pi^2 \frac{m_1}{k}$
Buradan $\frac{k}{m_1} = \pi^2$ elde ederiz.
Şimdi $\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{4}{m_1}}$ ifadesine geri dönelim. Bu ifadeyi $\frac{T_2}{2} = \frac{2}{\sqrt{m_1}}$ şeklinde yazabiliriz. $m_1$ değerini bulmak için ilk durumdaki periyot bilgisini kullanalım. $2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$ denkleminden $1 = \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$ elde ederiz. Her iki tarafın karesini alırsak $1 = \pi^2 \frac{m_1}{k}$ olur. Buradan $\frac{k}{\pi^2} = m_1$ sonucunu elde ederiz. Şimdi $\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{4k}{\pi^2k}} = \sqrt{\frac{4}{\pi^2}} = \frac{2}{\pi}$
Ancak bu çözümde bir hata var. Doğru çözüm şu şekilde olmalı:
$\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{4}{m_1}}$ ifadesinde $m_1$ yerine $m_1 = 1$ koyarsak (çünkü ilk durumda periyot 2 saniye ve kütle yay sabitine bağlı olarak 1 birim kabul edilebilir):
$\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2$
$T_2 = 2 * 2 = 4$ saniye
Cevap C seçeneğidir.
