Kütlesi m, yay sabiti k olan bir yay sarkacının periyodu T'dir. Kütle 4m, yay sabiti k/4 olursa yeni periyot ne olur?
A) TBu soruda, bir yay sarkacının periyodunun kütle ve yay sabitine nasıl bağlı olduğunu anlamamız gerekiyor. Yay sarkacının periyodu, salınımın ne kadar sürede tamamlandığını gösteren önemli bir özelliktir.
Yay sarkacının periyodu ($T$) için genel formül şöyledir:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Burada:
$m$: Sarkacın kütlesi
$k$: Yay sabiti (yayın sertliğini gösterir)
$2\pi$: Sabit bir değerdir
Bu formül bize periyodun kütlenin kareköküyle doğru orantılı, yay sabitinin kareköküyle ters orantılı olduğunu gösterir.
Soruda verilen ilk durum için:
Kütle: $m_1 = m$
Yay sabiti: $k_1 = k$
Periyot: $T_1 = T$
Bu değerleri formüle yazdığımızda, başlangıç periyodumuz zaten $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ olarak verilmiştir.
Şimdi soruda verilen değişikliklere bakalım:
Yeni kütle: $m_2 = 4m$
Yeni yay sabiti: $k_2 = \frac{k}{4}$
Amacımız bu yeni durumdaki periyodu ($T_2$) bulmak.
Yeni kütle ve yay sabiti değerlerini periyot formülüne yerleştirelim:
$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k_2}}$
$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{\frac{k}{4}}}$
Şimdi karekök içindeki ifadeyi düzenleyelim:
$\frac{4m}{\frac{k}{4}} = 4m \times \frac{4}{k} = \frac{16m}{k}$
Bu ifadeyi tekrar periyot formülüne yazalım:
$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{16m}{k}}$
$T_2 = 2\pi\sqrt{16 \times \frac{m}{k}}$
Karekök dışına $16$'yı $4$ olarak çıkarabiliriz:
$T_2 = 2\pi \times 4 \times \sqrt{\frac{m}{k}}$
$T_2 = 4 \times \left( 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$
Adım 2'de başlangıç periyodunun $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ olduğunu görmüştük.
Adım 4'te bulduğumuz $T_2$ ifadesine dikkat edersek, parantez içindeki kısmın tam olarak başlangıç periyodu $T$ olduğunu görürüz:
$T_2 = 4 \times T$
Yani, yeni periyot başlangıç periyodunun 4 katı olacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
