Parçalı fonksiyonun limiti Test 1

\( g(x) = \begin{cases} \sin(\pi x), & x < 1 \\ 2x - 2, & x \geq 1 \end{cases} \)
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \( \lim_{x \to 1} g(x) \) limiti kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) Limit yoktur

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinin var olabilmesi için, o noktadaki sol limitinin ve sağ limitinin birbirine eşit olması gerekir. Eğer sol limit ve sağ limit eşitse, fonksiyonun o noktadaki limiti bu değere eşittir.

• Sol Limiti Hesaplama:

Limitin $x \to 1^-$ (yani $x$, 1'e soldan yaklaşırken) durumunu inceleyelim. Bu durumda $x < 1$ olduğu için fonksiyonun birinci kuralı olan $g(x) = \sin(\pi x)$ ifadesini kullanırız.

$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} \sin(\pi x)$

Bu bir trigonometrik fonksiyon olduğu ve $x=1$ noktasında sürekli olduğu için, $x$ yerine doğrudan 1 yazabiliriz:

$\sin(\pi \cdot 1) = \sin(\pi)$

Bildiğimiz gibi, $\sin(\pi)$ değeri 0'dır.

Yani, $\lim_{x \to 1^-} g(x) = 0$.

• Sağ Limiti Hesaplama:

Şimdi limitin $x \to 1^+$ (yani $x$, 1'e sağdan yaklaşırken) durumunu inceleyelim. Bu durumda $x \geq 1$ olduğu için fonksiyonun ikinci kuralı olan $g(x) = 2x - 2$ ifadesini kullanırız.

$\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 2)$

Bu bir polinom fonksiyon olduğu ve $x=1$ noktasında sürekli olduğu için, $x$ yerine doğrudan 1 yazabiliriz:

$2(1) - 2 = 2 - 2 = 0$

Yani, $\lim_{x \to 1^+} g(x) = 0$.

• Limitlerin Karşılaştırılması:

Sol limitin 0 olduğunu ve sağ limitin de 0 olduğunu bulduk. Sol limit ve sağ limit birbirine eşit olduğu için, fonksiyonun $x \to 1$ noktasındaki limiti vardır ve bu değer 0'dır.

$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = 0$

Bu nedenle, $\lim_{x \to 1} g(x) = 0$.

Cevap A seçeneğidir.