Bir fonksiyonun türevinin işaret tablosu aşağıda verilmiştir:
x < 1 için f'(x) > 0
x = 1 için f'(x) = 0
x > 1 için f'(x) < 0
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) f(x) her yerde artandır
B) f(x) her yerde azalandır
C) f(x) x = 1'de yerel minimuma sahiptir
D) f(x) x = 1'de yerel maksimuma sahiptir
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim.
Öncelikle türevin işaret tablosunun ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- f'(x) > 0 ise, f(x) fonksiyonu o aralıkta artandır. Yani x değeri arttıkça f(x)'in değeri de artar.
- f'(x) < 0 ise, f(x) fonksiyonu o aralıkta azalandır. Yani x değeri arttıkça f(x)'in değeri azalır.
- f'(x) = 0 ise, f(x) fonksiyonu o noktada yatay teğete sahiptir. Bu nokta yerel maksimum, yerel minimum veya bir dönüm noktası olabilir.
Şimdi sorudaki bilgileri inceleyelim:
- x < 1 için f'(x) > 0: Bu, f(x) fonksiyonunun x = 1'den küçük değerler için arttığı anlamına gelir.
- x = 1 için f'(x) = 0: Bu, x = 1 noktasında fonksiyonun yatay teğete sahip olduğu anlamına gelir.
- x > 1 için f'(x) < 0: Bu, f(x) fonksiyonunun x = 1'den büyük değerler için azaldığı anlamına gelir.
Bu bilgilere göre, fonksiyon x = 1'e kadar artıyor, x = 1'de yatay teğete sahip oluyor ve x = 1'den sonra azalıyor. Bu durum, fonksiyonun x = 1 noktasında bir yerel maksimuma sahip olduğunu gösterir. Fonksiyonun artan davranıştan azalan davranışa geçtiği nokta bir tepe noktası oluşturur.
Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) f(x) her yerde artandır: Yanlış, çünkü x > 1 için azalıyor.
- B) f(x) her yerde azalandır: Yanlış, çünkü x < 1 için artıyor.
- C) f(x) x = 1'de yerel minimuma sahiptir: Yanlış, çünkü artanlıktan azalanlığa geçiyor, bu bir maksimumdur.
- D) f(x) x = 1'de yerel maksimuma sahiptir: Doğru, yukarıdaki açıklamalarımıza göre fonksiyon x = 1'de bir tepe noktasına sahip.
Cevap D seçeneğidir.
