Bir fonksiyonun (-2, 3) aralığında türevi pozitif, (3, 7) aralığında türevi negatiftir. Buna göre bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) x = 3 noktasında yerel minimumu vardır
B) x = 3 noktasında yerel maksimumu vardır
C) Fonksiyon her yerde süreklidir
D) Fonksiyon her yerde türevlenebilirdir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir fonksiyonun türevinin işaretleri hakkında bilgi verilmiş ve bu bilgilere dayanarak fonksiyonun davranışını yorumlamamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
- 1. Türevin İşaretinin Anlamı:
- Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişim hızını gösterir.
- Eğer bir aralıkta türev pozitifse ($f'(x) > 0$), fonksiyon o aralıkta artandır. Yani, $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerleri de artar.
- Eğer bir aralıkta türev negatifse ($f'(x) < 0$), fonksiyon o aralıkta azalandır. Yani, $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerleri azalır.
- 2. Verilen Bilgileri Yorumlama:
- Soruya göre, fonksiyonun $(-2, 3)$ aralığında türevi pozitiftir. Bu demektir ki, fonksiyon bu aralıkta artandır.
- Fonksiyonun $(3, 7)$ aralığında türevi negatiftir. Bu demektir ki, fonksiyon bu aralıkta azalandır.
- 3. $x = 3$ Noktasındaki Davranışı İnceleme:
- Fonksiyon $x=3$ noktasından önce (yani $(-2, 3)$ aralığında) artmaktadır.
- Fonksiyon $x=3$ noktasından sonra (yani $(3, 7)$ aralığında) azalmaktadır.
- Bu durumu hayal edelim: Fonksiyon yukarı doğru çıkıyor, $x=3$ noktasında bir tepe noktasına ulaşıyor ve sonra aşağı doğru inmeye başlıyor.
- 4. Yerel Maksimum ve Yerel Minimum Kavramları:
- Bir fonksiyonun yerel maksimumu, fonksiyonun belirli bir aralıkta alabileceği en büyük değerdir. Bu, fonksiyonun artmaktan azalmaya geçtiği noktada meydana gelir.
- Bir fonksiyonun yerel minimumu, fonksiyonun belirli bir aralıkta alabileceği en küçük değerdir. Bu, fonksiyonun azalmaktan artmaya geçtiği noktada meydana gelir.
- 5. Seçenekleri Değerlendirme:
- A) $x = 3$ noktasında yerel minimumu vardır: Yerel minimum, fonksiyonun azalmaktan artmaya geçtiği noktada olur. Bizim fonksiyonumuz ise artmaktan azalmaya geçiyor. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- B) $x = 3$ noktasında yerel maksimumu vardır: Fonksiyon $x=3$ noktasından önce artıyor, $x=3$ noktasından sonra azalıyor. Bu durum, $x=3$ noktasında bir yerel maksimum olduğu anlamına gelir. Bu ifade doğrudur. (Türevin işaret değiştirmesi, fonksiyonun o noktada sürekli olması koşuluyla yerel ekstremum olduğunu gösterir. Türevlenebilirlik aralıkları verildiğinde, bu tür bir davranış genellikle o noktada sürekliliği ve dolayısıyla yerel ekstremumu ima eder.)
- C) Fonksiyon her yerde süreklidir: Verilen bilgiler sadece belirli aralıklarda türevin işaretini belirtir. Fonksiyonun bu aralıkların dışında veya $x=3$ noktasında sürekli olup olmadığı hakkında kesin bir bilgi vermez. Örneğin, fonksiyon $x=0$ noktasında (verilen aralıkların dışında) süreksiz olabilir. Dolayısıyla bu ifade kesinlikle doğru değildir.
- D) Fonksiyon her yerde türevlenebilirdir: Türevin pozitif veya negatif olduğu aralıklar verilmiş, ancak fonksiyonun $x=3$ noktasında türevlenebilir olup olmadığı veya diğer noktalarda türevlenebilir olup olmadığı hakkında kesin bir bilgi yoktur. Bir fonksiyonun yerel maksimumu, türevlenebilir olmadığı bir noktada da oluşabilir (örneğin, $f(x) = -|x-3|$ fonksiyonunun $x=3$ noktasında yerel maksimumu vardır ama türevlenebilir değildir). Dolayısıyla bu ifade kesinlikle doğru değildir.
Sonuç olarak, fonksiyonun $x=3$ noktasından önce artıp sonra azalması, bu noktada bir yerel maksimuma sahip olduğunu kesin olarak gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
