Bir fonksiyonun ikinci türevi her yerde pozitif ve birinci türevi x = 2'de sıfır oluyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) f(x) x = 2'de yerel maksimuma sahiptirBu soruyu çözmek için fonksiyonların türevleri ile ilgili temel kavramları hatırlayalım ve adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Sorudaki Verileri Anlayalım
Bize iki önemli bilgi verilmiştir:
1. Fonksiyonun ikinci türevi her yerde pozitiftir: $f''(x) > 0$. Bu durum, fonksiyonun grafiğinin her yerde konkav yukarı (çukurluğu yukarı doğru) olduğunu gösterir. Yani fonksiyonun grafiği bir kase gibi yukarıya doğru açıktır.
2. Fonksiyonun birinci türevi $x = 2$'de sıfır oluyor: $f'(2) = 0$. Birinci türevin sıfır olduğu noktalar, fonksiyonun yerel maksimum veya yerel minimuma sahip olabileceği kritik noktalardır. Bu nedenle $x = 2$ bir kritik noktadır.
Adım 2: İkinci Türev Testini Hatırlayalım ve Uygulayalım
Bir kritik noktada ($f'(c) = 0$) fonksiyonun yerel maksimum mu yoksa yerel minimum mu olduğunu belirlemek için İkinci Türev Testi'ni kullanırız:
• Eğer $f''(c) > 0$ ise, fonksiyonun $x = c$'de yerel minimumu vardır.
• Eğer $f''(c) < 0$ ise, fonksiyonun $x = c$'de yerel maksimumu vardır.
• Eğer $f''(c) = 0$ ise, test sonuç vermez ve başka yöntemlere (örneğin Birinci Türev Testi) başvurmak gerekir.
Bizim durumumuzda, $x = 2$ bir kritik noktadır ($f'(2) = 0$). Ayrıca, soruda $f''(x) > 0$ olduğu her yerde belirtilmiştir. Dolayısıyla, $x = 2$ noktasında da $f''(2) > 0$ olacaktır.
İkinci Türev Testi'ne göre, $f'(2) = 0$ ve $f''(2) > 0$ olduğundan, $f(x)$ fonksiyonunun $x = 2$'de bir yerel minimumu vardır.
Adım 3: Seçenekleri Değerlendirelim
Elde ettiğimiz sonuca göre seçenekleri inceleyelim:
A) $f(x)$ $x = 2$'de yerel maksimuma sahiptir: Yanlıştır. İkinci türev pozitif olduğunda yerel minimum oluşur, yerel maksimum değil.
B) $f(x)$ $x = 2$'de yerel minimuma sahiptir: Doğrudur. İkinci Türev Testi sonucumuzla tamamen uyumludur.
C) $f(x)$ $x = 2$'de dönüm noktasına sahiptir: Yanlıştır. Dönüm noktası, fonksiyonun konkavlık yönünün değiştiği noktalardır. Bu da ikinci türevin işaret değiştirmesi (veya sıfır olup işaret değiştirmesi) anlamına gelir. Soruda $f''(x)$ her yerde pozitif verildiği için işaret değiştirmez, dolayısıyla dönüm noktası yoktur.
D) $f(x)$ her yerde azalandır: Yanlıştır. Eğer $f(x)$ her yerde azalan olsaydı, $f'(x) \le 0$ olurdu. Ancak $f'(2) = 0$ ve $f''(x) > 0$ olduğu için $f'(x)$ artan bir fonksiyondur. $f'(2) = 0$ ise, $x < 2$ için $f'(x) < 0$ (fonksiyon azalan) ve $x > 2$ için $f'(x) > 0$ (fonksiyon artan) olmalıdır. Yani fonksiyon her yerde azalan değildir.
Cevap B seçeneğidir.
