Bu soruda, $p \lor q$ önermesi ile aynı doğruluk değerlerine sahip olan önermeyi bulmamız isteniyor. Bunun için en güvenilir yöntem, her bir önermenin doğruluk tablosunu oluşturmak ve sonuçları karşılaştırmaktır. Hadi adım adım ilerleyelim!
1. Adım: $p \lor q$ önermesinin doğruluk tablosunu oluşturalım.
- $p \lor q$ (p veya q) önermesi, $p$ ve $q$ önermelerinden en az biri doğru olduğunda doğru, ikisi de yanlış olduğunda ise yanlıştır.
- Doğruluk tablosu şu şekildedir:
- $p$ doğru (D), $q$ doğru (D) $\Rightarrow$ $p \lor q$ doğru (D)
- $p$ doğru (D), $q$ yanlış (Y) $\Rightarrow$ $p \lor q$ doğru (D)
- $p$ yanlış (Y), $q$ doğru (D) $\Rightarrow$ $p \lor q$ doğru (D)
- $p$ yanlış (Y), $q$ yanlış (Y) $\Rightarrow$ $p \lor q$ yanlış (Y)
Özetle, $p \lor q$ için doğruluk değerleri sırasıyla D, D, D, Y'dir.
2. Adım: Seçeneklerdeki önermelerin doğruluk tablolarını inceleyelim.
A) $p \land q$ önermesi:
- $p \land q$ (p ve q) önermesi, $p$ ve $q$ önermelerinin ikisi de doğru olduğunda doğru, diğer durumlarda ise yanlıştır.
- Doğruluk değerleri:
- $p$ D, $q$ D $\Rightarrow$ $p \land q$ D
- $p$ D, $q$ Y $\Rightarrow$ $p \land q$ Y
- $p$ Y, $q$ D $\Rightarrow$ $p \land q$ Y
- $p$ Y, $q$ Y $\Rightarrow$ $p \land q$ Y
- Bu, $p \lor q$ önermesinin doğruluk değerleriyle (D, D, D, Y) aynı değildir.
B) $\neg p \land \neg q$ önermesi:
- Önce $\neg p$ ve $\neg q$ değerlerini bulalım:
- $p$ D $\Rightarrow$ $\neg p$ Y; $p$ Y $\Rightarrow$ $\neg p$ D
- $q$ D $\Rightarrow$ $\neg q$ Y; $q$ Y $\Rightarrow$ $\neg q$ D
- Şimdi $\neg p \land \neg q$ değerlerini bulalım:
- $p$ D, $q$ D $\Rightarrow$ $\neg p$ Y, $\neg q$ Y $\Rightarrow$ $\neg p \land \neg q$ Y
- $p$ D, $q$ Y $\Rightarrow$ $\neg p$ Y, $\neg q$ D $\Rightarrow$ $\neg p \land \neg q$ Y
- $p$ Y, $q$ D $\Rightarrow$ $\neg p$ D, $\neg q$ Y $\Rightarrow$ $\neg p \land \neg q$ Y
- $p$ Y, $q$ Y $\Rightarrow$ $\neg p$ D, $\neg q$ D $\Rightarrow$ $\neg p \land \neg q$ D
- Doğruluk değerleri: Y, Y, Y, D.
- Bu, $p \lor q$ önermesinin doğruluk değerleriyle (D, D, D, Y) aynı değildir.
C) $\neg(\neg p \land \neg q)$ önermesi:
- Bu önerme, De Morgan kurallarından birini anımsatıyor. De Morgan kuralına göre $\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$ ve $\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$ şeklindedir.
- Burada $A = \neg p$ ve $B = \neg q$ olarak düşünürsek:
- $\neg(\neg p \land \neg q) \equiv \neg(\neg p) \lor \neg(\neg q)$
- $\neg(\neg p)$ ifadesi $p$'ye, $\neg(\neg q)$ ifadesi ise $q$'ya denktir.
- Yani, $\neg(\neg p \land \neg q) \equiv p \lor q$.
- Bu durumda, bu önermenin doğruluk değerleri doğrudan $p \lor q$ ile aynı olacaktır: D, D, D, Y.
- İsterseniz doğruluk tablosuyla da kontrol edelim:
- $p$ D, $q$ D $\Rightarrow$ $\neg p$ Y, $\neg q$ Y $\Rightarrow$ $\neg p \land \neg q$ Y $\Rightarrow$ $\neg(\neg p \land \neg q)$ D
- $p$ D, $q$ Y $\Rightarrow$ $\neg p$ Y, $\neg q$ D $\Rightarrow$ $\neg p \land \neg q$ Y $\Rightarrow$ $\neg(\neg p \land \neg q)$ D
- $p$ Y, $q$ D $\Rightarrow$ $\neg p$ D, $\neg q$ Y $\Rightarrow$ $\neg p \land \neg q$ Y $\Rightarrow$ $\neg(\neg p \land \neg q)$ D
- $p$ Y, $q$ Y $\Rightarrow$ $\neg p$ D, $\neg q$ D $\Rightarrow$ $\neg p \land \neg q$ D $\Rightarrow$ $\neg(\neg p \land \neg q)$ Y
- Doğruluk değerleri: D, D, D, Y.
- Bu, $p \lor q$ önermesinin doğruluk değerleriyle (D, D, D, Y) tamamen aynıdır!
D) $p \Rightarrow q$ önermesi:
- $p \Rightarrow q$ (p ise q) önermesi, $p$ doğru ve $q$ yanlış olduğunda yanlış, diğer tüm durumlarda ise doğrudur.
- Doğruluk değerleri:
- $p$ D, $q$ D $\Rightarrow$ $p \Rightarrow q$ D
- $p$ D, $q$ Y $\Rightarrow$ $p \Rightarrow q$ Y
- $p$ Y, $q$ D $\Rightarrow$ $p \Rightarrow q$ D
- $p$ Y, $q$ Y $\Rightarrow$ $p \Rightarrow q$ D
- Bu, $p \lor q$ önermesinin doğruluk değerleriyle (D, D, D, Y) aynı değildir.
3. Adım: Sonuçları karşılaştıralım.
- $p \lor q$: D, D, D, Y
- A) $p \land q$: D, Y, Y, Y
- B) $\neg p \land \neg q$: Y, Y, Y, D
- C) $\neg(\neg p \land \neg q)$: D, D, D, Y
- D) $p \Rightarrow q$: D, Y, D, D
Gördüğümüz gibi, C seçeneğindeki $\neg(\neg p \land \neg q)$ önermesinin doğruluk değerleri, $p \lor q$ önermesinin doğruluk değerleriyle birebir aynıdır. Bu tür soruları çözerken, özellikle De Morgan kuralları gibi temel mantık denkliklerini bilmek size zaman kazandırır. Unutmayın, $\neg(\neg p \land \neg q)$ ifadesi, De Morgan kuralı uygulandığında $\neg(\neg p) \lor \neg(\neg q)$ yani $p \lor q$ haline gelir. Bu, mantıkta çok önemli bir denkliktir!
Cevap C seçeneğidir.
