\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) özdeşliğine göre, \( \sin(75^\circ) \cdot \cos(75^\circ) \) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \( \frac{1}{8} \)
B) \( \frac{1}{4} \)
C) \( \frac{\sqrt{3}}{4} \)
D) \( \frac{1}{2} \)
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için bize verilen trigonometrik özdeşliği dikkatlice inceleyelim ve istenen ifadeyi bu özdeşlik yardımıyla nasıl bulabileceğimizi adım adım görelim.
-
Verilen Özdeşliği Anlayalım: Bize $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $ özdeşliği verilmiş. Bu özdeşlik, bir açının iki katının sinüsünü, o açının sinüs ve kosinüsünün çarpımı cinsinden ifade eder.
-
İstenen İfadeyi Özdeşliğe Benzetelim: Bizden $ \sin(75^\circ) \cdot \cos(75^\circ) $ ifadesinin değeri isteniyor. Verilen özdeşliğin sağ tarafı olan $ 2\sin(x)\cos(x) $ ifadesi, istenen ifadeye çok benziyor.
-
Özdeşliği İstenen İfadeye Uyarlayalım: Eğer özdeşlikteki $ 2\sin(x)\cos(x) $ ifadesini $ \sin(x)\cos(x) $ haline getirmek istersek, özdeşliğin her iki tarafını $2$'ye bölmemiz gerekir.
Böylece:
$ \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2} $
$ \sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(2x)}{2} $
Bu yeni formül, $ \sin(x)\cos(x) $ çarpımını, $2x$ açısının sinüsü cinsinden ifade etmemizi sağlar.
-
Açı Değerini Yerine Koyalım: Şimdi, bizden istenen $ \sin(75^\circ) \cdot \cos(75^\circ) $ ifadesi için $x$ yerine $75^\circ$ yazabiliriz.
$ \sin(75^\circ)\cos(75^\circ) = \frac{\sin(2 \cdot 75^\circ)}{2} $
-
$2x$ Açısını Hesaplayalım: $2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$ olur.
Bu durumda ifademiz:
$ \sin(75^\circ)\cos(75^\circ) = \frac{\sin(150^\circ)}{2} $
-
$ \sin(150^\circ) $ Değerini Bulalım: $150^\circ$ açısı, $180^\circ - 30^\circ$ olarak yazılabilir. Sinüs fonksiyonu ikinci bölgede pozitif olduğu için $ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) $ eşitliği geçerlidir.
Biz $ \sin(30^\circ) $ değerinin $ \frac{1}{2} $ olduğunu biliyoruz.
O halde, $ \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} $.
-
Sonucu Hesaplayalım: Bulduğumuz $ \sin(150^\circ) $ değerini yerine yazalım:
$ \sin(75^\circ)\cos(75^\circ) = \frac{\frac{1}{2}}{2} $
Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde:
$ \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
Böylece, $ \sin(75^\circ) \cdot \cos(75^\circ) $ ifadesinin değerini $ \frac{1}{4} $ olarak bulmuş oluruz.
Cevap B seçeneğidir.
