Bir otobüs durağından hareket eden iki otobüsten biri 45 dakikada, diğeri 60 dakikada bir sefer yapmaktadır. İlk seferlerini birlikte yaptıktan sonra, tekrar birlikte sefer yapana kadar geçen süre kaç dakikadır?
A) 90Bu problemde, farklı zaman aralıklarında sefer yapan iki otobüsün ne zaman tekrar aynı anda sefer yapacağını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, matematikte En Küçük Ortak Kat (EKOK) kavramıyla çözülür.
Birinci otobüs her 45 dakikada bir sefer yapıyor. İkinci otobüs ise her 60 dakikada bir sefer yapıyor. İkisi de ilk seferlerini birlikte yapmışlar. Bizden istenen, bir sonraki birlikte sefer yapma zamanları arasındaki süreyi bulmak.
Otobüsler belirli aralıklarla tekrar eden olaylardır. Birlikte hareket etmeleri demek, her iki otobüsün de sefer sürelerinin ortak bir katı olan bir zamanda buluşmaları demektir. En erken ne zaman buluşacaklarını bulmak için ise bu ortak katların en küçüğünü, yani En Küçük Ortak Kat'ı (EKOK) bulmamız gerekir.
EKOK'u bulmak için sayılarımızın asal çarpanlarını ayırmak en kolay yöntemlerden biridir:
45 sayısının asal çarpanları: $45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5$
60 sayısının asal çarpanları: $60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
EKOK'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarında bulunan tüm farklı asal çarpanları (bu durumda 2, 3 ve 5) alırız ve bu asal çarpanların en büyük üslü olanlarını çarparız:
2'nin en büyük üssü: $2^2$ (60 sayısından geliyor)
3'ün en büyük üssü: $3^2$ (45 sayısından geliyor)
5'in en büyük üssü: $5^1$ (Her iki sayıda da var)
Şimdi bu en büyük üslü çarpanları birbiriyle çarpalım:
$EKOK(45, 60) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 36 \times 5 = 180$
Bulduğumuz EKOK değeri 180'dir. Bu, otobüslerin ilk seferlerini birlikte yaptıktan 180 dakika sonra tekrar birlikte sefer yapacakları anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
