Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum-zaman grafiği aşağıdaki gibidir:
[Zaman ekseninde periyodik bir sinüs dalgası]
Buna göre cismin hız-zaman grafiği aşağıdakilerden hangisi gibi olur?
A) Sinüs dalgasıyla aynı fazda bir grafik
B) Sinüs dalgasıyla ters fazda bir grafik
C) Sabit bir grafik
D) Kosinüs fonksiyonu şeklinde bir grafik
Basit harmonik hareket (BHH) yapan bir cismin konum-zaman grafiği verildiğinde, hız-zaman grafiğini bulmak için konum fonksiyonunun zamana göre türevini almamız gerekir. Adım adım ilerleyelim:
- Konum-Zaman Grafiğini Anlama: Soruda verilen konum-zaman grafiği, periyodik bir sinüs dalgası şeklindedir. Bu, cismin konumunun zamanla $x(t) = A \sin(\omega t)$ şeklinde değiştiği anlamına gelir. Burada $A$ genlik, $\omega$ açısal frekans ve $t$ zamandır. (Grafiğin başlangıç noktasından itibaren sinüs fonksiyonu gibi davrandığını varsayıyoruz, yani $t=0$ anında konum sıfırdır ve pozitif yönde artmaktadır.)
- Hız ve Konum İlişkisi: Bir cismin hızı, konumunun zamana göre değişim hızıdır. Matematiksel olarak, hız fonksiyonu konum fonksiyonunun zamana göre türevi alınarak bulunur. Yani, $v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$'dir.
- Hız Fonksiyonunu Bulma: Konum fonksiyonumuz $x(t) = A \sin(\omega t)$ olduğuna göre, hız fonksiyonunu bulmak için bu ifadenin zamana göre türevini alalım. Türev alma kurallarını uyguladığımızda, $\frac{d}{dt} (A \sin(\omega t)) = A \omega \cos(\omega t)$ elde ederiz. Yani, hız fonksiyonu $v(t) = A \omega \cos(\omega t)$ şeklindedir.
- Hız-Zaman Grafiğinin Şekli: Bulduğumuz hız fonksiyonu $v(t) = A \omega \cos(\omega t)$ şeklindedir. Bu ifade, bir kosinüs fonksiyonunu temsil eder. Kosinüs fonksiyonu, sinüs fonksiyonundan $\frac{\pi}{2}$ (veya 90 derece) faz farkıyla önde olan bir dalgadır. Yani, sinüs fonksiyonu sıfırdan başlarken, kosinüs fonksiyonu maksimum değerinden başlar.
- Seçeneklerin Değerlendirilmesi: A) Sinüs dalgasıyla aynı fazda bir grafik, hızın da sinüs fonksiyonu şeklinde olması anlamına gelirdi, ki bu doğru değildir. B) Sinüs dalgasıyla ters fazda bir grafik, hızın $-A \sin(\omega t)$ gibi olması anlamına gelirdi, ki bu da doğru değildir. C) Sabit bir grafik, hızın zamanla değişmediği anlamına gelirdi, ki basit harmonik harekette hız sürekli değişir (denge noktasında maksimum, genlik noktalarında sıfır). D) Kosinüs fonksiyonu şeklinde bir grafik, bulduğumuz $v(t) = A \omega \cos(\omega t)$ ifadesiyle tamamen uyumludur.
Bu nedenle, cismin hız-zaman grafiği bir kosinüs fonksiyonu şeklinde olacaktır.
Cevap D seçeneğidir.
