Mutlak değer fonksiyonunun belirli integrali Test 1

Bir öğrenci ∫|3x - 6| dx integralini [1, 5] aralığında hesaplamak istiyor. İntegrali parçalı fonksiyon olarak yazdığında hangi aralıkta 6 - 3x ifadesini kullanmalıdır?

A) [1, 2]
B) [1, 3]
C) [2, 5]
D) [3, 5]

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mutlak değer içeren bir integralin nasıl hesaplanacağını anlamak için mutlak değer fonksiyonunu parçalı bir şekilde yazmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Mutlak Değer Fonksiyonunun Tanımını Hatırlayalım:

  Bir $f(x)$ fonksiyonu için $|f(x)|$ ifadesi şu şekilde tanımlanır:

  • Eğer $f(x) \ge 0$ ise, o zaman $|f(x)| = f(x)$ olur.
  • Eğer $f(x) < 0$ ise, o zaman $|f(x)| = -f(x)$ olur.

  Bizim durumumuzda, mutlak değerin içindeki ifade $f(x) = 3x - 6$'dır.

• 2. Mutlak Değerin İçini Sıfır Yapan Kritik Noktayı Bulalım:

  Mutlak değerin içindeki ifade olan $3x - 6$'nın işaret değiştirdiği noktayı bulmalıyız. Bunun için $3x - 6 = 0$ denklemini çözeriz:

  • $3x - 6 = 0$
  • $3x = 6$
  • $x = 2$

  Bu $x = 2$ noktası, mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu belirlemek için kritik bir noktadır.

• 3. Kritik Noktaya Göre İşaretleri İnceleyelim:

  $x = 2$ noktasının solunda ve sağında $3x - 6$ ifadesinin işaretini kontrol edelim:

  • Eğer $x < 2$ ise (örneğin $x=1$): $3(1) - 6 = 3 - 6 = -3$. Bu değer negatiftir.
  • Eğer $x > 2$ ise (örneğin $x=3$): $3(3) - 6 = 9 - 6 = 3$. Bu değer pozitiftir.
• 4. Mutlak Değer Fonksiyonunu Parçalı Olarak Yazalım:

  Yukarıdaki işaret incelemesine göre $|3x - 6|$ ifadesini parçalı fonksiyon olarak yazabiliriz:

  • Eğer $x \ge 2$ ise (yani $3x - 6 \ge 0$), o zaman $|3x - 6| = 3x - 6$ olur.
  • Eğer $x < 2$ ise (yani $3x - 6 < 0$), o zaman $|3x - 6| = -(3x - 6) = -3x + 6 = 6 - 3x$ olur.
• 5. İntegral Aralığını ve Parçalı Fonksiyonu İlişkilendirelim:

  Soruda integralin hesaplanması istenen aralık $[1, 5]$'tir. Kritik noktamız $x = 2$ bu aralığın içindedir. Bu durum, integral aralığını ikiye ayırmamız gerektiği anlamına gelir:

  • $[1, 2]$ aralığı için: Bu aralıkta $x < 2$ (veya $x \le 2$) koşulu geçerlidir. Dolayısıyla, bu aralıkta $|3x - 6|$ yerine $6 - 3x$ ifadesini kullanmalıyız.
  • $[2, 5]$ aralığı için: Bu aralıkta $x \ge 2$ koşulu geçerlidir. Dolayısıyla, bu aralıkta $|3x - 6|$ yerine $3x - 6$ ifadesini kullanmalıyız.
• 6. Sorunun Cevabını Bulalım:

  Soru bize "hangi aralıkta $6 - 3x$ ifadesini kullanmalıdır?" diye soruyor. Yaptığımız incelemeye göre, $6 - 3x$ ifadesini $[1, 2]$ aralığında kullanmalıyız.

Bu adımları takip ettiğimizde, doğru seçeneğin A olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.