\(A = (-\infty, 4]\) ve \(B = [2, 8)\) kümeleri veriliyor. Buna göre \(A \cap B\) kesişim kümesi hangi aralıktır?
A) [2, 4]Bugün sizlerle kümelerde kesişim işlemini inceleyeceğiz. Kesişim, iki kümenin ortak elemanlarından oluşan yeni bir küme demektir. Şimdi sorumuzdaki kümeleri adım adım inceleyelim:
İlk kümemiz $A = (-\infty, 4]$ olarak verilmiş. Bu ifade, $4$ ve $4$'ten küçük tüm gerçek sayıları kapsayan bir aralığı temsil eder. Yani, $A$ kümesinin elemanları $x \le 4$ koşulunu sağlayan tüm $x$ gerçek sayılarıdır.
İkinci kümemiz $B = [2, 8)$ olarak verilmiş. Bu ifade ise $2$ dahil olmak üzere $2$'den büyük ve $8$ hariç olmak üzere $8$'den küçük tüm gerçek sayıları kapsayan bir aralığı temsil eder. Yani, $B$ kümesinin elemanları $2 \le x < 8$ koşulunu sağlayan tüm $x$ gerçek sayılarıdır.
Kesişim işlemi ($A \cap B$), her iki kümede de ortak olan elemanları bulmak anlamına gelir. Başka bir deyişle, hem $A$ kümesinin hem de $B$ kümesinin elemanı olan sayıları arıyoruz.
Bir sayının hem $A$ hem de $B$ kümesinde olması için şu iki koşulu aynı anda sağlaması gerekir:
Birinci koşul: $x \in A$ olması için $x \le 4$ olmalıdır.
İkinci koşul: $x \in B$ olması için $2 \le x < 8$ olmalıdır.
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $x$ sayısının hem $x \le 4$ hem de $2 \le x < 8$ olmasını istiyoruz.
Bu iki eşitsizliği bir araya getirdiğimizde, ortak aralık şu şekilde bulunur:
Alt sınır için: $x$ sayısı $2$'den büyük veya eşit olmalıdır (çünkü $B$ kümesi $2$'den başlar ve $2$ dahildir). Yani $2 \le x$.
Üst sınır için: $x$ sayısı $4$'ten küçük veya eşit olmalıdır (çünkü $A$ kümesi $4$'te biter ve $4$ dahildir). Yani $x \le 4$.
Bu iki durumu birleştirdiğimizde, $2 \le x \le 4$ eşitsizliğini elde ederiz.
$2 \le x \le 4$ eşitsizliğini sağlayan gerçek sayılar kümesi, kapalı aralık gösterimiyle $[2, 4]$ şeklinde ifade edilir. Bu aralık, $2$ ve $4$ sayıları dahil olmak üzere aralarındaki tüm gerçek sayıları içerir.
Bu durumda, $A \cap B = [2, 4]$ olur.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz aralığın A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
