Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek çemberde yay uzunluğu hesaplamayı iyice anlayalım.
Bir çemberde merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulmak için çemberin tüm çevresini ve merkez açının tüm çembere oranını kullanırız. İşte adımlarımız:
- 1. Çemberin Çevresini Hesaplayalım:
- Öncelikle, çemberin tamamının çevresini (uzunluğunu) bulmamız gerekiyor. Bir çemberin çevresi $C = 2\pi r$ formülüyle hesaplanır.
- Soruda bize yarıçapın ($r$) $6$ cm olduğu verilmiş.
- Bu değeri formülde yerine koyarsak: $C = 2\pi (6) = 12\pi$ cm olur. Bu, çemberin tamamının uzunluğudur.
- 2. Merkez Açının Oranını Belirleyelim:
- Çemberin tamamı $360^\circ$'lik bir açıyı temsil eder. Bizim merkez açımız ise $120^\circ$'dir.
- Bu $120^\circ$'lik açının tüm çembere oranını bulmak için $\frac{\text{Merkez Açı}}{\text{Tüm Çember Açısı}}$ formülünü kullanırız.
- Yani, $\frac{120^\circ}{360^\circ}$ oranını hesaplarız. Bu oran sadeleştirildiğinde $\frac{1}{3}$ elde ederiz. Bu, $120^\circ$'lik açının tüm çemberin $\frac{1}{3}$'ünü temsil ettiği anlamına gelir.
- 3. Yayın Uzunluğunu Hesaplayalım:
- Şimdi, çemberin çevresini ve merkez açının oranını kullanarak yayın uzunluğunu bulabiliriz. Yayın uzunluğu, çemberin çevresinin bu oranla çarpılmasıyla bulunur.
- Yayın Uzunluğu ($L$) = Çevre $\times$ Merkez Açının Oranı
- $L = 12\pi \times \frac{1}{3}$
- Bu işlemi yaptığımızda: $L = \frac{12\pi}{3} = 4\pi$ cm sonucunu buluruz.
Bu adımları takip ederek, $120^\circ$'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğunun $4\pi$ cm olduğunu bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
