2. \(\frac{2x^2-8}{x^2-5x+6} \cdot \frac{x-3}{x+2}\) işleminin sonucu nedir?
A) \(\frac{2(x-2)}{x-2}\)Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirmeye çalışalım. Bu sayede daha kolay işlem yapabiliriz.
İlk kesrin payı $2x^2 - 8$. Bu ifadeyi $2$ parantezine alarak başlayabiliriz: $2(x^2 - 4)$. Şimdi de $x^2 - 4$ ifadesinin iki kare farkı olduğunu fark edelim. Yani $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Dolayısıyla ilk kesrin payı $2(x - 2)(x + 2)$ olur.
İlk kesrin paydası $x^2 - 5x + 6$. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için iki sayı bulmalıyız. Bu iki sayının toplamı $-5$ ve çarpımı $6$ olmalı. Bu sayılar $-2$ ve $-3$'tür. Bu durumda $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ olur.
Şimdi ifademizi çarpanlarına ayrılmış haliyle yazalım: $\frac{2(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 3)} \cdot \frac{x - 3}{x + 2}$. Burada $(x - 2)$, $(x + 2)$ ve $(x - 3)$ terimlerinin sadeleştiğini görebiliriz. $(x-2)$ pay ve paydada var, $(x+2)$ pay ve paydada var, $(x-3)$ pay ve paydada var. Bu sadeleştirmeleri yapalım.
Sadeleştirmelerden sonra geriye sadece $2$ kalır. Ancak dikkat! Sadeleştirme yaparken aslında $\frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} \cdot \frac{x-3}{x+2} = \frac{2(x-2)}{x-2}$ ifadesine ulaşıyoruz. Bu ifade de $(x-2)$'ler sadeleştiğinde $2$ sonucunu veriyor. Ancak şıklarda bu şekilde bir ifade arıyoruz.
Sadeleştirmeleri yaptığımızda $\frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} \cdot \frac{x-3}{x+2}$ ifadesi $\frac{2(x-2)}{x-3}$ haline gelir.
Cevap C seçeneğidir.
