Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir dikdörtgenin alanını bulmak için köklü sayılarla çarpma işlemi yapacağız. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözelim.
- Adım 1: Dikdörtgenin Alan Formülünü Hatırlayalım.
Bir dikdörtgenin alanı, iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. Yani, eğer kenar uzunlukları $a$ ve $b$ ise, Alan = $a \times b$ olur.
- Adım 2: Verilen Kenar Uzunluklarını Belirleyelim.
Soruda bize dikdörtgenin kenar uzunlukları $ \sqrt{20} $ cm ve $ \sqrt{45} $ cm olarak verilmiştir. Bu değerleri alan formülünde kullanacağız.
- Adım 3: Köklü Sayıları Sadeleştirelim.
Çarpma işlemine geçmeden önce köklü sayıları en sade hallerine getirmek, işlemi daha kolay ve anlaşılır hale getirir. Bunun için kök içindeki sayıyı bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarız.
- $ \sqrt{20} $ sayısını sadeleştirelim: $ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} $. Burada $4$ bir tam kare sayıdır ($2^2$). Bu ifadeyi $ \sqrt{4} \times \sqrt{5} $ olarak ayırabiliriz. $ \sqrt{4} = 2 $ olduğu için, $ \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $ cm olur.
- $ \sqrt{45} $ sayısını sadeleştirelim: $ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} $. Burada $9$ bir tam kare sayıdır ($3^2$). Bu ifadeyi $ \sqrt{9} \times \sqrt{5} $ olarak ayırabiliriz. $ \sqrt{9} = 3 $ olduğu için, $ \sqrt{45} = 3\sqrt{5} $ cm olur.
- Adım 4: Sadeleştirilmiş Kenar Uzunluklarını Çarparak Alanı Bulalım.
Şimdi sadeleştirdiğimiz kenar uzunluklarını kullanarak dikdörtgenin alanını hesaplayabiliriz:
- Alan = $ (2\sqrt{5}) \times (3\sqrt{5}) $
- Köklü sayılarla çarpma yaparken, kök dışındaki sayıları kendi aralarında, kök içindeki sayıları kendi aralarında çarparız.
- Alan = $ (2 \times 3) \times (\sqrt{5} \times \sqrt{5}) $
- Önce kök dışındaki sayıları çarpalım: $ 2 \times 3 = 6 $.
- Sonra köklü ifadeleri çarpalım: $ \sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} $. $ \sqrt{25} $ ise $5$'e eşittir.
- Şimdi bu iki sonucu birleştirelim: Alan = $ 6 \times 5 $
- Alan = $ 30 $ santimetrekare.
- Adım 5: Sonucu Kontrol Edelim.
Bulduğumuz $30$ değeri, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
