KPSS Fonksiyonlar konu anlatımı Test 1

f: R → R, f(x) = |x-3| + |x+1| fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Bugün, mutlak değer fonksiyonlarının en küçük değerini bulma üzerine harika bir problem çözeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = |x-3| + |x+1|$. Bu tür problemleri çözerken, mutlak değerin tanımını ve kritik noktaları belirlemeyi çok iyi bilmeliyiz.

Adım 1: Mutlak Değerin Anlamını Hatırlayalım

• $|a|$ ifadesi, $a$ sayısının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını temsil eder.
• Genel olarak, $|x-a|$ ifadesi, $x$ sayısının $a$ sayısına olan uzaklığını gösterir.
• Dolayısıyla, $f(x) = |x-3| + |x+1|$ fonksiyonu, $x$ sayısının $3$'e olan uzaklığı ile $x$ sayısının $-1$'e olan uzaklığının toplamını ifade eder.

Adım 2: Kritik Noktaları Belirleyelim

• Mutlak değerin içini sıfır yapan değerlere kritik noktalar denir. Bu noktalar, mutlak değerin işaret değiştirdiği yerlerdir.
• İlk mutlak değer için: $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
• İkinci mutlak değer için: $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
• Kritik noktalarımız $x = -1$ ve $x = 3$'tür. Bu noktalar, sayı doğrusunu üç farklı aralığa ayırır.

Adım 3: Her Bir Aralıkta Fonksiyonu İnceleyelim

• Durum 1: $x < -1$

  Bu aralıkta, hem $(x-3)$ hem de $(x+1)$ ifadeleri negatiftir.

  Örneğin, $x=-2$ alırsak: $x-3 = -5$ (negatif), $x+1 = -1$ (negatif).

  Mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirirler:

  $f(x) = -(x-3) - (x+1)$

  $f(x) = -x+3-x-1$

  $f(x) = -2x+2$

  Bu aralıkta $x$ değeri arttıkça, $-2x+2$ değeri azalır (azalan bir fonksiyondur).

• Durum 2: $-1 \le x \le 3$

  Bu aralıkta, $(x-3)$ ifadesi negatif veya sıfır, $(x+1)$ ifadesi ise pozitif veya sıfırdır.

  Örneğin, $x=0$ alırsak: $x-3 = -3$ (negatif), $x+1 = 1$ (pozitif).

  Mutlak değer dışına çıkarken $(x-3)$ işaret değiştirir, $(x+1)$ olduğu gibi çıkar:

  $f(x) = -(x-3) + (x+1)$

  $f(x) = -x+3+x+1$

  $f(x) = 4$

  Bu aralıkta fonksiyonun değeri sabittir ve $4$'e eşittir.

• Durum 3: $x > 3$

  Bu aralıkta, hem $(x-3)$ hem de $(x+1)$ ifadeleri pozitiftir.

  Örneğin, $x=4$ alırsak: $x-3 = 1$ (pozitif), $x+1 = 5$ (pozitif).

  Mutlak değer dışına olduğu gibi çıkarlar:

  $f(x) = (x-3) + (x+1)$

  $f(x) = x-3+x+1$

  $f(x) = 2x-2$

  Bu aralıkta $x$ değeri arttıkça, $2x-2$ değeri artar (artan bir fonksiyondur).

Adım 4: En Küçük Değeri Belirleyelim

• Fonksiyonun davranışını özetlersek:
• $x < -1$ için $f(x)$ azalıyor.
• $-1 \le x \le 3$ için $f(x)$ sabittir ve değeri $4$'tür.
• $x > 3$ için $f(x)$ artıyor.
• Bu durumda, fonksiyonun en küçük değeri, sabit olduğu aralıktaki değeridir, yani $4$'tür.

Alternatif Yorum (Geometrik Yaklaşım):

• $f(x) = |x-3| + |x+1|$ ifadesi, sayı doğrusu üzerinde $x$ noktasının $3$ noktasına olan uzaklığı ile $x$ noktasının $-1$ noktasına olan uzaklığının toplamıdır.
• Bu toplamın en küçük olması için $x$ noktasının, $-1$ ve $3$ noktaları arasında (veya bu noktalarda) olması gerekir.
• Eğer $x$ bu aralıkta ise, $x$'in $3$'e olan uzaklığı ile $x$'in $-1$'e olan uzaklığının toplamı, direkt olarak $-1$ ile $3$ noktaları arasındaki uzaklığa eşit olur.
• Bu uzaklık ise $|3 - (-1)| = |3+1| = |4| = 4$'tür.
• Bu geometrik yorum, bize hızlıca doğru cevabı bulma imkanı sunar ve önceki adımlarda bulduğumuz sonucu doğrular.

Bu adımları takip ederek, fonksiyonun en küçük değerinin $4$ olduğunu kolayca bulabiliriz.

Cevap C seçeneğidir.