KPSS Fonksiyonlar konu anlatımı Test 1

f(x+y) = f(x) + f(y) ve f(1) = 5 olduğuna göre, f(7) değeri kaçtır?

A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, özel bir fonksiyonun özelliğini kullanarak belirli bir değeri bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: Fonksiyonun Özelliğini Anlayalım

  Bize verilen ilk bilgi, $f(x+y) = f(x) + f(y)$ eşitliğidir. Bu, fonksiyonun toplama işlemi üzerinde dağılma özelliğine benzer bir davranış sergilediğini gösterir. Yani, bir sayıyı iki parçaya ayırıp fonksiyonu ayrı ayrı uygulayıp topladığımızda, sayının kendisine fonksiyonu uygulamış gibi oluruz. Bu tür fonksiyonlara "doğrusal fonksiyonlar" veya "toplamsal fonksiyonlar" denir.

• Adım 2: Bilinen Değeri Kullanarak İlerleyelim

  Bize $f(1) = 5$ değeri verilmiş. Bu, başlangıç noktamız olacak. Bu bilgiyi kullanarak diğer tam sayı değerlerini bulmaya çalışacağız.

• Adım 3: $f(2)$ Değerini Bulalım

  $f(2)$ değerini bulmak için, $x+y=2$ olacak şekilde $x$ ve $y$ değerleri seçebiliriz. En basitinden $x=1$ ve $y=1$ alabiliriz. Fonksiyonun özelliğini kullanalım:

  • $f(1+1) = f(1) + f(1)$
  • $f(2) = 5 + 5$
  • $f(2) = 10$
• Adım 4: $f(3)$ Değerini Bulalım

  Şimdi de $f(3)$ değerini bulalım. Bunun için $x=2$ ve $y=1$ alabiliriz (veya $x=1$ ve $y=2$).

  • $f(2+1) = f(2) + f(1)$
  • $f(3) = 10 + 5$
  • $f(3) = 15$
• Adım 5: Bir Örüntü Keşfedelim

  Bulduğumuz değerlere dikkatlice bakalım:

  • $f(1) = 5$
  • $f(2) = 10$
  • $f(3) = 15$

  Görünüşe göre, $f(n)$ değeri, $n$ ile $5$'in çarpımına eşit oluyor. Yani, her seferinde $f(n) = 5n$ gibi bir kural oluşuyor.

• Adım 6: Örüntüyü Genelleyelim (İspatlayalım)

  Bu örüntüyü matematiksel olarak da gösterebiliriz. Herhangi bir pozitif tam sayı $n$ için $f(n)$ değerini bulmak istersek:

  • $f(n) = f(1+1+...+1)$ ($n$ tane $1$'in toplamı)
  • Fonksiyonun özelliğini kullanarak bunu açarsak: $f(n) = f(1) + f(1) + ... + f(1)$ ($n$ tane $f(1)$'in toplamı)
  • Bu durumda, $f(n) = n \cdot f(1)$
  • $f(1)$ değerinin $5$ olduğunu biliyoruz, o halde: $f(n) = n \cdot 5$
  • Yani, $f(n) = 5n$ genel kuralını elde ederiz.
• Adım 7: $f(7)$ Değerini Hesaplayalım

  Artık genel kuralı bildiğimize göre, $f(7)$ değerini kolayca bulabiliriz. $n=7$ koyarak hesaplayalım:

  • $f(7) = 5 \cdot 7$
  • $f(7) = 35$

Bu adımları takip ederek, fonksiyonun özelliğini ve verilen başlangıç değerini kullanarak istenen değeri bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.