Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir dik üçgenin alanını kullanarak bilinmeyen $x$ değerini bulacağız. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:
- 1. Adım: Dik Üçgenin Alan Formülünü Hatırlayalım
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir. Yani, Alan = $ rac{1}{2} \times \text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2}$.
- Soruda verilen dik kenar uzunlukları $(x+2)$ cm ve $(x+4)$ cm, alan ise 24 cm²'dir.
- Bu bilgileri formülde yerine yazalım: $ rac{1}{2} \times (x+2) \times (x+4) = 24$.
- 2. Adım: Denklemi Sadeleştirelim
- Denklemin her iki tarafını 2 ile çarparak paydadaki $ rac{1}{2}$'den kurtulalım:
- $(x+2) \times (x+4) = 24 \times 2$
- $(x+2)(x+4) = 48$.
- 3. Adım: Denklemi Çözelim
- Şimdi parantezleri açalım (dağılma özelliğini kullanalım):
- $x \times x + x \times 4 + 2 \times x + 2 \times 4 = 48$
- $x^2 + 4x + 2x + 8 = 48$
- Benzer terimleri birleştirelim:
- $x^2 + 6x + 8 = 48$.
- Denklemi sıfıra eşitlemek için 48'i sol tarafa atalım:
- $x^2 + 6x + 8 - 48 = 0$
- $x^2 + 6x - 40 = 0$.
- Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz. Çarpımları $-40$ ve toplamları $6$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $10$ ve $-4$'tür.
- Yani denklemi $(x+10)(x-4) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Bu durumda iki olası çözüm vardır:
- $x+10 = 0 \implies x = -10$
- $x-4 = 0 \implies x = 4$.
- 4. Adım: Geçerli $x$ Değerini Bulalım
- Bir üçgenin kenar uzunluğu negatif olamaz. Eğer $x = -10$ olsaydı, dik kenar uzunlukları $(x+2) = (-10+2) = -8$ cm olurdu ki bu mümkün değildir.
- Bu nedenle, $x = 4$ değeri geçerlidir.
- $x=4$ için dik kenar uzunluklarını kontrol edelim:
- Birinci dik kenar: $(x+2) = (4+2) = 6$ cm.
- İkinci dik kenar: $(x+4) = (4+4) = 8$ cm.
- Alan: $ rac{1}{2} \times 6 \times 8 = rac{1}{2} \times 48 = 24$ cm². Bu, soruda verilen alanla eşleşmektedir.
Buna göre $x$ değeri $4$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
