Üçgende alan ve yükseklik ilişkisi Test 1

Bir ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC], |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm'dir. [AC] kenarına ait yükseklik kaç cm'dir?

A) 4,2
B) 4,8
C) 5,2
D) 5,6

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir dik üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve hipotenüse ait yüksekliğin kaç cm olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi çözelim.

• 1. Üçgenin Türünü Belirleyelim:

  Soruda verilen bilgiye göre, bir ABC üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ denilmiştir. Bu ifade, A, B ve C köşelerinden oluşan üçgenin B köşesinde bir dik açıya sahip olduğu anlamına gelir. Yani, $\triangle ABC$ bir dik üçgendir.

• 2. Hipotenüs Uzunluğunu Bulalım:

  Dik üçgenlerde dik kenarların uzunlukları biliniyorsa, hipotenüsün uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulabiliriz. Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

  Dik kenarlarımız $|AB| = 6$ cm ve $|BC| = 8$ cm'dir. Hipotenüsümüz ise $[AC]$ kenarıdır.

  Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

  $|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2$

  $|AC|^2 = 6^2 + 8^2$

  $|AC|^2 = 36 + 64$

  $|AC|^2 = 100$

  $|AC| = \sqrt{100}$

  $|AC| = 10$ cm. Böylece hipotenüsün uzunluğunu bulmuş olduk.

• 3. Üçgenin Alanını Hesaplayalım:

  Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Dik üçgenlerde, dik kenarlar birbirinin tabanı ve yüksekliği olarak kabul edilebilir.

  Alan formülünü kullanalım:

  $Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$

  Dik kenarları kullanarak alanı bulalım:

  $Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times |AB| \times |BC|$

  $Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 6 \times 8$

  $Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 48$

  $Alan(\triangle ABC) = 24$ cm$^2$.

• 4. Hipotenüse Ait Yüksekliği Bulalım:

  Şimdi üçgenin alanını biliyoruz ($24$ cm$^2$) ve hipotenüs uzunluğunu da biliyoruz ($|AC| = 10$ cm). Hipotenüse ait yüksekliği ($h_c$) bulmak için yine alan formülünü kullanabiliriz. Bu sefer taban olarak hipotenüsü, yükseklik olarak da aradığımız $h_c$ değerini alacağız.

  $Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times |AC| \times h_c$

  $24 = \frac{1}{2} \times 10 \times h_c$

  $24 = 5 \times h_c$

  Şimdi $h_c$ değerini yalnız bırakmak için her iki tarafı $5$'e bölelim:

  $h_c = \frac{24}{5}$

  $h_c = 4.8$ cm.

Böylece, $[AC]$ kenarına ait yüksekliğin $4.8$ cm olduğunu bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.