$$\int \frac{3x+2}{x^2-4} dx$$ integralini hesaplamak için basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılıyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi integralin basit kesirlere ayrılmış halidir?
A) $$\int \left(\frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+2}\right) dx$$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, rasyonel bir fonksiyonun integralini hesaplamak için çok önemli bir yöntem olan "basit kesirlere ayırma" tekniğini kullanmamız isteniyor. Amacımız, karmaşık görünen bu kesri daha basit iki kesrin toplamı şeklinde yazarak integrali kolayca alabilmek. Haydi adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Paydayı Çarpanlarına Ayırma
Verilen integraldeki payda $x^2-4$ ifadesidir. Bu ifade, iki kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Buna göre, $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$ olur.
Şimdi integralimiz şu şekli alır: $\int \frac{3x+2}{(x-2)(x+2)} dx$.
Adım 2: Basit Kesirlere Ayırma İfadesini Kurma
Paydayı çarpanlarına ayırdıktan sonra, kesri basit kesirlerin toplamı şeklinde yazabiliriz. Her bir çarpan için bir sabit terim (A, B gibi) atarız:
$\frac{3x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$
Adım 3: A ve B Sabitlerini Bulma
Şimdi $A$ ve $B$ sabitlerini bulmak için sağ taraftaki kesirleri tekrar birleştirelim. Ortak payda $(x-2)(x+2)$ olacaktır:
$\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} = \frac{A(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{B(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{A(x+2) + B(x-2)}{(x-2)(x+2)}$
Bu ifadeyi orijinal kesre eşitlediğimizde, paydalar aynı olduğu için payları eşitleyebiliriz:
$3x+2 = A(x+2) + B(x-2)$
Şimdi $A$ ve $B$ değerlerini bulmak için $x$'e uygun değerler verebiliriz:
$x=2$ için (bu değer $x-2$ terimini sıfır yapar):
$3(2)+2 = A(2+2) + B(2-2)$
$6+2 = A(4) + B(0)$
$8 = 4A \Rightarrow A=2$
$x=-2$ için (bu değer $x+2$ terimini sıfır yapar):
$3(-2)+2 = A(-2+2) + B(-2-2)$
$-6+2 = A(0) + B(-4)$
$-4 = -4B \Rightarrow B=1$
Adım 4: İntegralin Basit Kesirlere Ayrılmış Halini Yazma
$A=2$ ve $B=1$ değerlerini bulduğumuza göre, integralin basit kesirlere ayrılmış halini yazabiliriz:
$\int \left(\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}\right) dx = \int \left(\frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+2}\right) dx$
Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma
Bulduğumuz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğindeki ifade ile tamamen aynı olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
