Basit kesirlere ayırma yöntemi (İntegral) Test 1

$$\int \frac{4x+1}{x^2-1} dx$$ integrali basit kesirlere ayrıldığında aşağıdaki ifadelerden hangisi elde edilir?

A) $$\int \left(\frac{2.5}{x-1} + \frac{1.5}{x+1}\right) dx$$
B) $$\int \left(\frac{2.5}{x-1} - \frac{1.5}{x+1}\right) dx$$
C) $$\int \left(\frac{1.5}{x-1} + \frac{2.5}{x+1}\right) dx$$
D) $$\int \left(\frac{1.5}{x-1} - \frac{2.5}{x+1}\right) dx$$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, rasyonel bir fonksiyonun integralini almadan önce, onu basit kesirlere ayırma yöntemini kullanarak daha kolay entegre edilebilir parçalara ayıracağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Paydayı Çarpanlarına Ayırma

  İntegrali alınacak ifadenin paydası $x^2-1$ şeklindedir. Bu ifadeyi iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırabiliriz:

  $x^2-1 = (x-1)(x+1)$

• 2. Adım: Basit Kesir Ayrıştırmasını Kurma

  Payda birbirinden farklı doğrusal çarpanlara sahip olduğu için, ifadeyi aşağıdaki gibi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazabiliriz:

  $\frac{4x+1}{x^2-1} = \frac{4x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

  Burada $A$ ve $B$ bulmamız gereken sabit sayılardır.

• 3. Adım: Ortak Paydada Birleştirme ve Payları Eşitleme

  Sağ taraftaki kesirleri ortak paydada birleştirelim:

  $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} = \frac{A(x+1) + B(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

  Şimdi bu ifadenin payını, orijinal ifadenin payına eşitleyelim:

  $4x+1 = A(x+1) + B(x-1)$

• 4. Adım: $A$ ve $B$ Değerlerini Bulma

  Bu eşitlik her $x$ değeri için doğru olmalıdır. $A$ ve $B$ değerlerini bulmak için $x$'e uygun değerler verebiliriz:

  • $x=1$ için:

    $4(1)+1 = A(1+1) + B(1-1)$

    $5 = A(2) + B(0)$

    $5 = 2A \implies A = \frac{5}{2} = 2.5$

  • $x=-1$ için:

    $4(-1)+1 = A(-1+1) + B(-1-1)$

    $-4+1 = A(0) + B(-2)$

    $-3 = -2B \implies B = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} = 1.5$

• 5. Adım: Basit Kesir Ayrıştırmasını Yazma

  Bulduğumuz $A$ ve $B$ değerlerini yerine yazarsak, integralin içindeki ifadeyi basit kesirler şeklinde elde ederiz:

  $\frac{4x+1}{x^2-1} = \frac{2.5}{x-1} + \frac{1.5}{x+1}$

  Dolayısıyla, integralimiz şu hale gelir:

  $\int \left(\frac{2.5}{x-1} + \frac{1.5}{x+1}\right) dx$

• 6. Adım: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Elde ettiğimiz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.