\(((5^2)^3)^x = 5^{24}\) olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün üslü sayılarla ilgili harika bir problem çözeceğiz. Üslü sayılar, matematikte çok önemli bir konudur ve bu tür problemleri çözmek, konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır. Hazırsanız, adım adım çözümümüze başlayalım!
Bize verilen denklem $\left(\left(5^2\right)^3\right)^x = 5^{24}$ şeklindedir. Bu tür problemlerde kullanacağımız en temel kural, "bir üslü sayının kuvvetinin kuvveti" kuralıdır. Yani, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kuralını hatırlamalıyız. Bu kural, bir sayının üssünün tekrar üssü alındığında, üslerin çarpılacağını söyler.
Denklemin sol tarafında iç içe geçmiş üsler görüyoruz: $\left(\left(5^2\right)^3\right)^x$. Bu ifadeyi en içten dışa doğru sadeleştireceğiz.
Şimdi denklemin sol tarafı $(5^6)^x$ haline geldi. Tekrar "kuvvetin kuvveti" kuralını uygulayarak üsleri çarpıyoruz: $6 \cdot x = 6x$.
Böylece denklemin sol tarafı tamamen sadeleşmiş olur: $(5^6)^x = 5^{6x}$.
Denklemin sol tarafını $5^{6x}$ olarak bulduk. Denklemin sağ tarafı ise $5^{24}$ idi. Şimdi denklemi şu şekilde yazabiliriz:
$5^{6x} = 5^{24}$
Bu eşitlikte, tabanlar (yani 5) aynı olduğuna göre, üslerin de birbirine eşit olması gerekir. Bu durumda:
$6x = 24$
Şimdi x'i bulmak için her iki tarafı 6'ya bölelim:
$x = \frac{24}{6}$
$x = 4$
Bulduğumuz $x=4$ değerini orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapabiliriz:
$\left(\left(5^2\right)^3\right)^4 = (5^6)^4 = 5^{6 \cdot 4} = 5^{24}$
Gördüğümüz gibi, eşitlik sağlanıyor. Bu da cevabımızın doğru olduğunu gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
