Sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi durumunu inceleyeceğiz. Bu tür problemler, parabollerin ve ikinci dereceden denklemlerin temel özelliklerini anlamamızı gerektirir. Hadi adım adım bu soruyu çözelim!
-
Parabolün x eksenini kesmesi ne anlama gelir?
Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar, parabol denklemini $f(x) = 0$ yapan x değerleridir. Yani, $2x^2 - 8x + m = 0$ denkleminin kökleridir.
-
İki farklı noktada kesme koşulu:
Bir parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi demek, $f(x) = 0$ denkleminin iki farklı reel kökü olduğu anlamına gelir. İkinci dereceden bir denklemin ($ax^2 + bx + c = 0$) iki farklı reel kökü olabilmesi için diskriminantının ($\Delta$) sıfırdan büyük olması gerekir. Yani, $\Delta > 0$ olmalıdır.
-
Diskriminantı hesaplama:
Diskriminant formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.
Verilen parabol denklemi $f(x) = 2x^2 - 8x + m$ olduğuna göre, katsayılarımız şunlardır:
Şimdi bu değerleri diskriminant formülünde yerine yazalım:
$\Delta = (-8)^2 - 4(2)(m)$
$\Delta = 64 - 8m$
-
Koşulu uygulama ve m değerini bulma:
İki farklı noktada kesme koşulu $\Delta > 0$ olduğundan, bulduğumuz diskriminant ifadesini bu eşitsizliğe yerleştirelim:
$64 - 8m > 0$
Şimdi bu eşitsizliği $m$ için çözelim:
$64 > 8m$
Eşitsizliğin her iki tarafını 8'e bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
$ rac{64}{8} > rac{8m}{8}$
$8 > m$
Bu da $m < 8$ anlamına gelir.
Buna göre, $m$ değeri 8'den küçük olmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
