f(x) = -x² + 6x - 8 parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 1)Parabolün Tepe Noktasını Bulma Adımları
Sevgili öğrenciler, bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak, parabolün grafiğini anlamak ve özelliklerini belirlemek için çok önemlidir. Genel bir $f(x) = ax^2 + bx + c$ parabolü için tepe noktasının koordinatları $(x_T, y_T)$ şeklinde gösterilir. Şimdi bu adımları birlikte uygulayalım.
1. Adım: $x_T$ Koordinatını Bulma
Tepe noktasının $x$ koordinatı, $x_T = - rac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Bu formül, parabolün simetri eksenini de verir.
Verilen parabol denklemi $f(x) = -x^2 + 6x - 8$ şeklindedir.
Bu denklemdeki katsayıları belirleyelim:
$a = -1$ (yani $x^2$'nin katsayısı)
$b = 6$ (yani $x$'in katsayısı)
$c = -8$ (yani sabit terim)
Şimdi $x_T$ formülünü kullanarak hesaplayalım:
$x_T = - rac{b}{2a} = - rac{6}{2(-1)} = - rac{6}{-2} = -(-3) = 3$
Böylece tepe noktasının $x$ koordinatını $x_T = 3$ olarak bulmuş olduk. Bu, parabolün $x=3$ doğrusuna göre simetrik olduğu anlamına gelir.
2. Adım: $y_T$ Koordinatını Bulma
Tepe noktasının $y$ koordinatını bulmak için, bulduğumuz $x_T$ değerini parabolün denkleminde yerine yazarız. Yani $y_T = f(x_T)$ hesaplarız. Bu değer, parabolün alabileceği en büyük veya en küçük değeri temsil eder.
$x_T = 3$ olduğu için $f(3)$ değerini hesaplayacağız:
$f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 8$
$f(3) = -(9) + 18 - 8$
$f(3) = -9 + 18 - 8$
$f(3) = 9 - 8$
$f(3) = 1$
Böylece tepe noktasının $y$ koordinatını $y_T = 1$ olarak bulmuş olduk. Parabolün $a$ katsayısı negatif ($a=-1$) olduğu için kollar aşağı doğrudur ve tepe noktası parabolün alabileceği en büyük değeri verir.
Sonuç:
Yaptığımız hesaplamalar sonucunda parabolün tepe noktasının koordinatları $(x_T, y_T) = (3, 1)$ olarak bulunur.
Bu koordinatlar seçeneklere baktığımızda A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
