6 ile bölünebilme kuralı Test 1

Bir torbada 6'nın katı kadar bilye vardır. Bilyeler 8'erli sayıldığında 4 bilye artıyor. Torbadaki bilye sayısı 100'den az olduğuna göre, torbada en fazla kaç bilye vardır?

A) 60
B) 72
C) 84
D) 96

Bu problemde, bir torbadaki bilye sayısını bulmak için verilen ipuçlarını dikkatlice inceleyerek adım adım ilerleyeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Bilye sayısı 6'nın katı olmalı.

Soruda, torbadaki bilye sayısının 6'nın katı olduğu belirtiliyor. Ayrıca, bilye sayısının 100'den az olduğu bilgisi de var. Bu durumda, 6'nın 100'den küçük olan katlarını listeleyelim:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.

• 2. Adım: Bilyeler 8'erli sayıldığında 4 bilye artıyor.

Bu ifade, torbadaki bilye sayısının 8'e bölündüğünde kalanın 4 olması gerektiğini gösterir. Matematiksel olarak bunu $B \equiv 4 \pmod{8}$ şeklinde ifade edebiliriz. Yani, bilye sayısı $8k + 4$ formunda olmalıdır, burada $k$ bir tam sayıdır.

• 3. Adım: Her iki koşulu sağlayan sayıları bulalım.

Şimdi, 1. adımda listelediğimiz 6'nın katlarından hangilerinin 8'e bölündüğünde 4 kalanını verdiğini tek tek kontrol edelim:

• $12 \div 8 = 1$ ve kalan $4$. (Bu sayı uygun!)
• $18 \div 8 = 2$ ve kalan $2$. (Uygun değil)
• $24 \div 8 = 3$ ve kalan $0$. (Uygun değil)
• $30 \div 8 = 3$ ve kalan $6$. (Uygun değil)
• $36 \div 8 = 4$ ve kalan $4$. (Bu sayı uygun!)
• $42 \div 8 = 5$ ve kalan $2$. (Uygun değil)
• $48 \div 8 = 6$ ve kalan $0$. (Uygun değil)
• $54 \div 8 = 6$ ve kalan $6$. (Uygun değil)
• $60 \div 8 = 7$ ve kalan $4$. (Bu sayı uygun!)
• $66 \div 8 = 8$ ve kalan $2$. (Uygun değil)
• $72 \div 8 = 9$ ve kalan $0$. (Uygun değil)
• $78 \div 8 = 9$ ve kalan $6$. (Uygun değil)
• $84 \div 8 = 10$ ve kalan $4$. (Bu sayı uygun!)
• $90 \div 8 = 11$ ve kalan $2$. (Uygun değil)
• $96 \div 8 = 12$ ve kalan $0$. (Uygun değil)
• 4. Adım: En fazla bilye sayısını belirleyelim.

Yukarıdaki kontroller sonucunda, hem 6'nın katı olan hem de 8'e bölündüğünde 4 kalanını veren ve 100'den küçük olan sayılar şunlardır: 12, 36, 60, 84.

Soru bizden torbadaki bilye sayısının en fazla kaç olabileceğini istediği için, bu sayılar arasındaki en büyüğünü seçmeliyiz.

Bu sayılar arasındaki en büyük değer $84$'tür.

Cevap C seçeneğidir.