Kısmi integrasyon yöntemi nedir Test 1

∫ln(x)dx integralini hesaplamak için kısmi integrasyon uygulayan bir öğrenci, u = ln(x) ve dv = dx olarak seçiyor. Buna göre integralin sonucu nedir?

A) x·ln(x) - x + C
B) x·ln(x) + x + C
C) ln(x) + C
D) x²·ln(x) - x + C

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda kısmi integrasyon yöntemini kullanarak bir integralin nasıl hesaplandığını adım adım inceleyeceğiz. Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımının integralini almak için kullanılan güçlü bir tekniktir.

• 1. Kısmi İntegrasyon Formülünü Hatırlayalım:

  Kısmi integrasyon formülü şöyledir: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Bu formül, bir integralin çözümünü daha basit bir integrale dönüştürmemizi sağlar.

• 2. $u$ ve $dv$ Değerlerini Belirleyelim:

  Soruda bize $u = \ln(x)$ ve $dv = dx$ olarak verilmiştir. Bu seçim, $\ln(x)$'in türevini almanın kolay, $dx$'in integralini almanın da kolay olmasından dolayı oldukça mantıklıdır.

• 3. $du$ Değerini Hesaplayalım:

  $u = \ln(x)$ ifadesinin türevini alarak $du$'yu buluruz:

  • $u = \ln(x)$
  • $\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$
  • Böylece, $du = \frac{1}{x} dx$ olur.
• 4. $v$ Değerini Hesaplayalım:

  $dv = dx$ ifadesinin integralini alarak $v$'yi buluruz:

  • $dv = dx$
  • $\int dv = \int dx$
  • Böylece, $v = x$ olur. (Burada integral sabiti $C$'yi eklemiyoruz, en son ekleyeceğiz.)
• 5. Değerleri Kısmi İntegrasyon Formülüne Yerleştirelim:

  Şimdi bulduğumuz $u$, $v$, $du$ ve $dv$ değerlerini $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ formülüne yerleştirelim:

  • $\int \ln(x) \, dx = (\ln(x)) \cdot (x) - \int (x) \cdot \left(\frac{1}{x} dx\right)$
  • $\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int \frac{x}{x} dx$
  • $\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx$
• 6. Kalan İntegrali Hesaplayalım:

  Formülde kalan $\int 1 \, dx$ integralini hesaplayalım:

  • $\int 1 \, dx = x$
• 7. Sonucu Birleştirelim ve İntegral Sabitini Ekleyelim:

  Kalan integrali de hesapladıktan sonra, tüm terimleri birleştirip integral sabiti $C$'yi ekleyelim:

  • $\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C$

Bu adımları takip ettiğimizde, integralin sonucunun $x \cdot \ln(x) - x + C$ olduğunu buluruz. Bu sonuç, verilen seçeneklerden A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.