Kısmi integrasyon yöntemiyle ∫(x²+1)·eˣdx integralini çözmek için hangi seçim daha uygundur?
A) u = x²+1, dv = eˣdx
B) u = eˣ, dv = (x²+1)dx
C) u = x², dv = (1+eˣ)dx
D) u = 1, dv = (x²+1)·eˣdx
Merhaba sevgili öğrenciler,
Kısmi integrasyon yöntemi, iki fonksiyonun çarpımının integralini almak için kullanılan güçlü bir tekniktir. Formülü $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ şeklindedir. Bu yöntemi uygularken en kritik adım, $u$ ve $dv$ seçimini doğru yapmaktır. Amacımız, $ \int v \, du $ integralinin orijinal integrale göre daha basit veya çözülebilir olmasıdır.
Şimdi, $ \int(x^2+1) \cdot e^x dx $ integralini inceleyelim ve verilen seçenekleri değerlendirelim:
-
Kısmi İntegrasyon Yönteminin Temel Prensibi:
Genel olarak, $u$ olarak seçtiğimiz fonksiyonun türevi ($du$) basitleşmeli, $dv$ olarak seçtiğimiz fonksiyonun integrali ($v$) ise kolayca alınabilmeli ve $ \int v \, du $ integralinin çözümü orijinal integrale göre daha kolay olmalıdır. "LIATE" (Logaritmik, Ters Trigonometrik, Cebirsel, Trigonometrik, Üstel) kuralı, $u$ seçiminde bize yol gösteren pratik bir yöntemdir. Bu kurala göre, listede daha önce gelen fonksiyonu $u$ olarak seçmek genellikle işleri kolaylaştırır.
-
İntegralimizdeki Fonksiyonlar:
İntegralimiz $ (x^2+1) $ (cebirsel bir ifade) ve $ e^x $ (üstel bir ifade) fonksiyonlarının çarpımından oluşmaktadır.
-
A) Seçeneğini İnceleyelim: $u = x^2+1$, $dv = e^x dx$
- $u = x^2+1$ (Cebirsel)
- $dv = e^x dx$ (Üstel)
- Bu seçime göre, $du$ ve $v$ değerlerini bulalım:
- $du = \frac{d}{dx}(x^2+1) dx = 2x dx$
- $v = \int e^x dx = e^x$
- Şimdi $ \int v \, du $ integralini oluşturalım: $ \int e^x (2x) dx = 2 \int x e^x dx $.
- Gördüğünüz gibi, $ \int x e^x dx $ integrali, orijinal $ \int (x^2+1) e^x dx $ integralinden daha basittir çünkü cebirsel ifadenin derecesi $x^2$'den $x$'e düşmüştür. Bu integral için kısmi integrasyonu bir kez daha uygulayarak çözüme ulaşabiliriz. Bu, kısmi integrasyonun başarılı bir uygulaması için aradığımız durumdur.
-
B) Seçeneğini İnceleyelim: $u = e^x$, $dv = (x^2+1)dx$
- $u = e^x$ (Üstel)
- $dv = (x^2+1)dx$ (Cebirsel)
- Bu seçime göre, $du$ ve $v$ değerlerini bulalım:
- $du = \frac{d}{dx}(e^x) dx = e^x dx$
- $v = \int (x^2+1)dx = \frac{x^3}{3} + x$
- Şimdi $ \int v \, du $ integralini oluşturalım: $ \int (\frac{x^3}{3} + x) e^x dx $.
- Bu integral, orijinal integrale göre daha karmaşıktır çünkü cebirsel ifadenin derecesi $x^2$'den $x^3$'e yükselmiştir. Bu, kısmi integrasyon uygulamasında kaçınmamız gereken bir durumdur.
-
C) Seçeneğini İnceleyelim: $u = x^2$, $dv = (1+e^x)dx$
- Bu seçim, integraldeki çarpım yapısını bozmaktadır. $dv = (1+e^x)dx$ olarak seçildiğinde, $v = x + e^x$ olur. $du = 2x dx$ olur. $ \int v \, du = \int (x+e^x) 2x dx = \int (2x^2 + 2xe^x) dx $. Bu integral, orijinal integrale göre daha karmaşık hale gelmiştir ve $ (x^2+1)e^x $ yapısını parçalamak yerine, bütün olarak ele almak daha mantıklıdır.
-
D) Seçeneğini İnceleyelim: $u = 1$, $dv = (x^2+1) \cdot e^x dx$
- Bu seçimde $du = 0 dx$ olur. Ancak $v = \int (x^2+1) \cdot e^x dx $ olur ki bu da zaten çözmeye çalıştığımız integralin kendisidir. Yani bu seçim, integrali çözmek yerine, çözümü zaten bilmemizi gerektirir. Bu nedenle, bu seçim kısmi integrasyon için uygun değildir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, $u = x^2+1$ ve $dv = e^x dx$ seçimi, cebirsel ifadenin derecesini düşürerek integrali basitleştirdiği için en uygun seçimdir.
Cevap A seçeneğidir.
