Merhaba sevgili öğrenciler,
Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımı şeklinde olan integralleri çözmek için kullandığımız güçlü bir yöntemdir. Formülü hatırlayalım: $∫udv = uv - ∫vdu$. Bu yöntemi uygularken en kritik adım, $u$ ve $dv$ seçimini doğru yapmaktır. Amacımız, $du$'nun $u$'dan daha basit olmasını, $∫dv$'nin kolayca hesaplanabilmesini ve en önemlisi, $∫vdu$ integralinin başlangıçtaki integrale göre daha kolay çözülebilir olmasını sağlamaktır.
Şimdi, $∫x·√(x+1)dx$ integralini inceleyelim ve verilen seçenekleri değerlendirelim:
- A) $u = x, dv = √(x+1)dx$
- $u = x$ seçimi için $du = dx$ olur. Gördüğünüz gibi, $du$ çok daha basittir.
- $dv = √(x+1)dx = (x+1)^{1/2}dx$ seçimi için $v = ∫(x+1)^{1/2}dx$ hesaplamamız gerekir. Bu integral, basit bir değişken değişimi ($t = x+1 \implies dt = dx$) ile kolayca çözülebilir: $v = \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}$.
- Şimdi $∫vdu$ integralini düşünelim: $∫\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}dx$. Bu integral, temel bir kuvvet kuralı integralidir ve başlangıçtaki $∫x·√(x+1)dx$ integralinden çok daha kolaydır.
- Bu seçim, integrali önemli ölçüde basitleştirdiği için oldukça uygun görünmektedir.
- B) $u = √(x+1), dv = xdx$
- $u = √(x+1) = (x+1)^{1/2}$ seçimi için $du = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}dx = \frac{1}{2√(x+1)}dx$ olur. Gördüğünüz gibi, $du$ ifadesi $u$'dan daha karmaşık hale geldi. Paydada köklü bir ifade belirdi.
- $dv = xdx$ seçimi için $v = ∫xdx = \frac{x^2}{2}$ olur. Bu kolaydır.
- Şimdi $∫vdu$ integralini düşünelim: $∫\frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{2√(x+1)}dx = ∫\frac{x^2}{4√(x+1)}dx$. Bu integral, başlangıçtaki integrale göre daha karmaşık görünmektedir. Payda hala köklü bir ifade içeriyor ve payda $x^2$ var.
- Bu seçim, integrali basitleştirmek yerine daha karmaşık hale getirir.
- C) $u = x·√(x+1), dv = dx$
- $u = x·√(x+1)$ seçimi için $du$ hesaplamamız gerekir. Bu, çarpımın türevi kuralını gerektirir: $du = (1·√(x+1) + x·\frac{1}{2√(x+1)})dx = (√(x+1) + \frac{x}{2√(x+1)})dx$. Bu ifade, $u$'dan çok daha karmaşıktır.
- $dv = dx$ seçimi için $v = ∫dx = x$ olur. Bu kolaydır.
- Şimdi $∫vdu$ integralini düşünelim: $∫x(√(x+1) + \frac{x}{2√(x+1)})dx$. Bu integral, başlangıçtaki integrale göre açıkça daha karmaşıktır.
- Bu seçim, integrali çok daha zor hale getirir.
- D) $u = dx, dv = x·√(x+1)$
- Bu seçenek, kısmi integrasyon formülünün yanlış anlaşılmasına dayanmaktadır. $u$ bir fonksiyon olmalı, $dv$ ise bir diferansiyel (bir fonksiyon çarpı $dx$) olmalıdır. $u = dx$ ve $dv = x·√(x+1)$ şeklinde bir ayrım yapılamaz.
- Bu seçenek, yöntemin temel prensiplerine aykırıdır.
Yukarıdaki analizlerimize göre, A seçeneği $u$ ve $dv$ için en uygun seçimi sunmaktadır. Çünkü $du$ basitleşir, $v$ kolayca bulunur ve $∫vdu$ integrali başlangıçtaki integrale göre çok daha kolay bir forma dönüşür.
Cevap A seçeneğidir.
