ln(x) fonksiyonunun integrali Test 1

∫(3ln(x) + 2)dx integralinin sonucu nedir?

A) 3x·ln(x) - 3x + 2x + C
B) 3x·ln(x) + 2x + C
C) 3x·ln(x) - x + 2x + C
D) (3/x) + 2x + C

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu integral sorusunu adım adım, dikkatlice çözerek konuyu daha iyi anlamanızı sağlayalım. İntegral almak, türev almanın tersi bir işlemdir ve bazen özel teknikler gerektirebilir. Hadi başlayalım!

• 1. İntegrali Parçalama:

  Verilen integral, iki farklı terimin toplamından oluştuğu için, integrali bu terimler üzerine dağıtabiliriz. Bu, işlemi daha yönetilebilir hale getirir.

  $\int(3\ln(x) + 2)dx = \int 3\ln(x) dx + \int 2 dx$

• 2. İlk Terimi Hesaplama: $\int 3\ln(x) dx$

  Bu integral, $\ln(x)$ fonksiyonunu içerdiği için "kısmi integrasyon" (parça parça integral) yöntemini kullanmamız gerekecek. Kısmi integrasyon formülü şöyledir: $\int u dv = uv - \int v du$.

  • Öncelikle $u$ ve $dv$ değerlerini seçelim:
  • $u = \ln(x)$ (Çünkü $\ln(x)$'in türevi daha basittir.)
  • $dv = 3 dx$
  • Şimdi $du$ ve $v$ değerlerini bulalım:
  • $du = \frac{1}{x} dx$ (Çünkü $\ln(x)$'in türevi $\frac{1}{x}$'tir.)
  • $v = \int 3 dx = 3x$ (Çünkü $3x$'in türevi $3$'tür.)
  • Şimdi bu değerleri kısmi integrasyon formülünde yerine koyalım:
  • $\int 3\ln(x) dx = (\ln(x)) \cdot (3x) - \int (3x) \cdot \left(\frac{1}{x}\right) dx$
  • $= 3x\ln(x) - \int 3 dx$
  • Son olarak, kalan integrali hesaplayalım:
  • $\int 3 dx = 3x$
  • Böylece, ilk terimin integrali: $3x\ln(x) - 3x$ olarak bulunur.
• 3. İkinci Terimi Hesaplama: $\int 2 dx$

  Bu integral çok daha basittir. Bir sabitin integrali, o sabit ile değişkenin çarpımıdır.

  • $\int 2 dx = 2x$
• 4. Sonuçları Birleştirme:

  Şimdi bulduğumuz her iki integralin sonucunu bir araya getirelim ve integral sabiti $C$'yi eklemeyi unutmayalım.

  $\int(3\ln(x) + 2)dx = (3x\ln(x) - 3x) + (2x) + C$

  $= 3x\ln(x) - 3x + 2x + C$

Bu adımları takip ettiğimizde, integralin sonucunun $3x\ln(x) - 3x + 2x + C$ olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.