10. Sınıf Üçgenin Yükseklikleri ve Diklik Merkezi Test 1

ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına çizilen dikme ayağı D noktasıdır. |AB| = 13 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 14 cm olduğuna göre, |AD| yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 13

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde bir üçgende yüksekliği bulmak için Pisagor Teoremi'ni nasıl kullanacağımızı adım adım göreceğiz. Hazır mısınız?

• 1. Adım: Problemi Anlayalım ve Çizelim

  ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına bir dikme çiziliyor ve bu dikme ayağı D noktası oluyor. Bu durum, AD'nin BC'ye dik olduğu anlamına gelir ve böylece iki tane dik üçgen oluşur: $\triangle ABD$ ve $\triangle ADC$.

  Verilen uzunluklar:

  • $|AB| = 13$ cm (Bu, $\triangle ABD$'nin hipotenüsüdür.)
  • $|AC| = 15$ cm (Bu, $\triangle ADC$'nin hipotenüsüdür.)
  • $|BC| = 14$ cm (Bu, büyük üçgenin tabanıdır.)

  Bizden istenen ise $|AD|$ yüksekliğinin uzunluğudur.

• 2. Adım: Bilinmeyenleri Tanımlayalım

  İstenen yüksekliğe, yani $|AD|$'ye $h$ diyelim.

  D noktası BC kenarı üzerinde olduğu için, $|BD|$ uzunluğuna $x$ dersek, $|DC|$ uzunluğu $|BC| - |BD| = 14 - x$ olacaktır.

• 3. Adım: $\triangle ABD$ İçin Pisagor Teoremini Uygulayalım

  $\triangle ABD$ bir dik üçgen olduğu için Pisagor Teoremi'ni uygulayabiliriz (dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir):

  $|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2$

  $13^2 = h^2 + x^2$

  $169 = h^2 + x^2$ (Bu bizim 1. Denklemimiz olsun.)

• 4. Adım: $\triangle ADC$ İçin Pisagor Teoremini Uygulayalım

  Benzer şekilde, $\triangle ADC$ de bir dik üçgendir. Ona da Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

  $|AC|^2 = |AD|^2 + |DC|^2$

  $15^2 = h^2 + (14 - x)^2$

  $225 = h^2 + (14 - x)^2$ (Bu da bizim 2. Denklemimiz olsun.)

• 5. Adım: Denklemleri Çözerek $x$ Değerini Bulalım

  Şimdi elimizde $h$ ve $x$ bilinmeyenlerini içeren iki denklem var. Bu denklemleri birlikte çözerek $x$'i bulalım.

  1. Denklemden $h^2$'yi yalnız bırakalım: $h^2 = 169 - x^2$.

  Bu $h^2$ ifadesini 2. Denklemde yerine yazalım:

  $225 = (169 - x^2) + (14 - x)^2$

  $(14 - x)^2$ ifadesini açalım: $(14 - x)^2 = 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot x + x^2 = 196 - 28x + x^2$.

  Şimdi denklemde yerine yazalım:

  $225 = 169 - x^2 + 196 - 28x + x^2$

  Denklemdeki $-x^2$ ve $+x^2$ terimleri birbirini götürür. Bu harika!

  $225 = 169 + 196 - 28x$

  $225 = 365 - 28x$

  $28x = 365 - 225$

  $28x = 140$

  $x = \frac{140}{28}$

  $x = 5$ cm

  Demek ki $|BD| = 5$ cm imiş.

• 6. Adım: Yüksekliği ($h$) Bulalım

  $x$ değerini bulduğumuza göre, şimdi 1. Denklemde yerine yazarak $h$ değerini (yani $|AD|$ yüksekliğini) kolayca bulabiliriz:

  $h^2 = 169 - x^2$

  $h^2 = 169 - 5^2$

  $h^2 = 169 - 25$

  $h^2 = 144$

  $h = \sqrt{144}$

  $h = 12$ cm

  Böylece $|AD|$ yüksekliğinin uzunluğunu $12$ cm olarak bulmuş olduk!

Cevap C seçeneğidir.