f(x) = eˣ - x² fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun daima artan olduğunu göstermek için türevinin işaretinin incelenmesi gerekmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) f'(x) > 0 ∀x ∈ RBir fonksiyonun daima artan olduğunu göstermek için, o fonksiyonun türevinin işaretini incelememiz gerekir. Eğer türev daima pozitifse, fonksiyon daima artandır.
Verilen fonksiyonumuz $f(x) = e^x - x^2$.
Bu fonksiyonun türevini alalım. Üstel fonksiyonun türevi kendisidir ($ (e^x)' = e^x $), kuvvet fonksiyonunun türevi ise kuvveti başa alıp kuvveti bir azaltmaktır ($ (x^n)' = nx^{n-1} $).
Buna göre, $f'(x)$ şu şekilde bulunur:
$f'(x) = (e^x)' - (x^2)' = e^x - 2x$
Şimdi $f'(x) = e^x - 2x$ ifadesinin işaretini incelememiz gerekiyor. Fonksiyonun daima artan olması için $f'(x) > 0$ olması gerekir.
Bu eşitsizliği doğrudan çözmek zor olabilir. Bu tür durumlarda, türev fonksiyonunun (yani $f'(x)$'in) kendisinin minimum değerini bulmak bize yardımcı olabilir. Eğer $f'(x)$'in minimum değeri bile pozitifse, o zaman $f'(x)$ her zaman pozitif demektir.
Bunun için, $f'(x)$ fonksiyonunu yeni bir fonksiyon gibi düşünelim, örneğin $g(x) = e^x - 2x$. Şimdi $g(x)$'in minimum değerini bulmak için onun türevini alalım.
$g'(x) = (e^x)' - (2x)' = e^x - 2$
$g'(x) = 0$ denklemini çözerek $g(x)$'in kritik noktalarını bulalım:
$e^x - 2 = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$
Şimdi $g'(x)$'in işaretini inceleyelim:
Eğer $x < \ln 2$ ise, örneğin $x=0$ için $g'(0) = e^0 - 2 = 1 - 2 = -1 < 0$. Bu durumda $g(x)$ azalandır.
Eğer $x > \ln 2$ ise, örneğin $x=1$ için $g'(1) = e^1 - 2 \approx 2.718 - 2 = 0.718 > 0$. Bu durumda $g(x)$ artandır.
Bu durum bize $x = \ln 2$ noktasının $g(x)$ fonksiyonu için bir yerel minimum noktası olduğunu gösterir. Ayrıca, bu tek kritik nokta olduğu için, bu aynı zamanda bir global minimum noktasıdır.
$g(x)$'in minimum değerini $x = \ln 2$ noktasında hesaplayalım:
$g(\ln 2) = e^{\ln 2} - 2(\ln 2)$
Üstel ve logaritmik fonksiyonların özelliklerinden $e^{\ln 2} = 2$ olduğunu biliyoruz.
O halde, $g(\ln 2) = 2 - 2\ln 2$.
Şimdi bu değerin işaretini belirleyelim. $\ln 2 \approx 0.693$ olduğunu biliyoruz.
$2 - 2\ln 2 \approx 2 - 2(0.693) = 2 - 1.386 = 0.614$
Gördüğümüz gibi, $g(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 > 0$.
Bu, $g(x)$ fonksiyonunun (yani $f'(x)$'in) alabileceği en küçük değerin bile pozitif olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, $f'(x)$ her zaman pozitiftir ($f'(x) > 0 \forall x \in R$).
Bulduğumuz sonuca göre, $f'(x)$ daima pozitiftir.
A) $f'(x) > 0 \forall x \in R$: Bu bizim bulduğumuz sonuçla örtüşmektedir.
B) $f'(x) < 0 \forall x \in R$: Bu yanlıştır.
C) $f'(x) = 0$ denkleminin iki reel kökü vardır: $f'(x) = e^x - 2x = 0$ denkleminin kökleri olsaydı bile, bu $f'(x)$'in işaret değiştirebileceği anlamına gelirdi. Ancak biz $f'(x)$'in minimum değerinin bile pozitif olduğunu gösterdik, yani $f'(x)$ hiçbir zaman sıfır olamaz. Dolayısıyla reel kökü yoktur.
D) $f'(x)$ her zaman pozitif değildir: Bu yanlıştır, çünkü $f'(x)$'in minimum değeri pozitif olduğu için her zaman pozitiftir.
Cevap A seçeneğidir.
