Bir öğrenci, $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}$ ve $g(x) = \frac{x+2}{x-2}$ fonksiyonlarının grafiklerini incelerken, her ikisinin de $x=2$ noktasında tanımsız olduğunu fark etmiştir. Ancak, bu iki fonksiyonun $x=2$ noktasındaki davranışları birbirinden farklıdır.
Buna göre, $x=2$ noktasında $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonları için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) $f(x)$'in $x=2$ noktasında düşey asimptotu vardır; $g(x)$'in ise bir boşluğu (nokta süreksizliği) vardır.
B) $f(x)$'in $x=2$ noktasında bir boşluğu vardır; $g(x)$'in ise düşey asimptotu vardır.
C) Her iki fonksiyonun da $x=2$ noktasında düşey asimptotu vardır.
D) Her iki fonksiyonun da $x=2$ noktasında birer boşluğu vardır.
İşte bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözümü:
Öncelikle, fonksiyonların $x=2$ noktasındaki davranışlarını inceleyelim.
* **$f(x)$ fonksiyonu için:**
* $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}$ ifadesini sadeleştirebiliriz. Paydaki $x^2 - 4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliği ile $(x-2)(x+2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
* Bu durumda, $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ olur.
* $x \neq 2$ olduğu durumlarda, $(x-2)$ terimleri sadeleşebilir ve $f(x) = x+2$ elde edilir.
* Bu, $f(x)$ fonksiyonunun $x=2$ hariç her yerde $x+2$ doğrusu ile aynı olduğu anlamına gelir. $x=2$ noktasında ise bir "boşluk" (hole) vardır. Çünkü orijinal fonksiyonda $x=2$ değeri paydayı sıfır yapar.
* **$g(x)$ fonksiyonu için:**
* $g(x) = \frac{x+2}{x-2}$ fonksiyonunu sadeleştiremeyiz.
* $x=2$ değeri paydayı sıfır yapar ve payda sıfırdan farklı bir değer vardır ($2+2 = 4$).
* Bu durumda, $x=2$ noktasında bir düşey asimptot (vertical asymptote) oluşur. Çünkü $x$, 2'ye yaklaşırken fonksiyonun değeri sonsuza veya eksi sonsuza gider.
Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
* A) $f(x)$'in $x=2$ noktasında düşey asimptotu vardır; $g(x)$'in ise bir boşluğu (nokta süreksizliği) vardır. (Yanlış, $f(x)$'in boşluğu var.)
* B) $f(x)$'in $x=2$ noktasında bir boşluğu vardır; $g(x)$'in ise düşey asimptotu vardır. (Doğru)
* C) Her iki fonksiyonun da $x=2$ noktasında düşey asimptotu vardır. (Yanlış, $f(x)$'in boşluğu var.)
* D) Her iki fonksiyonun da $x=2$ noktasında birer boşluğu vardır. (Yanlış, $g(x)$'in düşey asimptotu var.)
Cevap B seçeneğidir.
