Asimptot nedir Test 1

Bir mühendis, bir sistemin performansını modellemek için $P(t) = \frac{3t^2 + 5t + 1}{t^2 + 2t + 4}$ fonksiyonunu kullanmaktadır. Burada $P(t)$ performans seviyesini, $t$ ise zamanı (birim: saat) temsil etmektedir. Mühendis, zaman çok büyüdüğünde sistemin performansının hangi değere yakınsayacağını merak etmektedir.
Buna göre, sistemin performansının uzun vadede yakınsayacağı değer ve bu durumun matematiksel karşılığı olan asimptot türü aşağıdakilerden hangisidir?

A) Performans $3$'e yakınsar; bu bir düşey asimptottur.
B) Performans $0$'a yakınsar; bu bir yatay asimptottur.
C) Performans $3$'e yakınsar; bu bir yatay asimptottur.
D) Performans sonsuza yakınsar; bu bir eğik asimptottur.

İşte bu soruyu adım adım çözerek, sistemin uzun vadede nasıl bir performans göstereceğini ve bu durumun matematiksel karşılığını anlamanı sağlayacağım:

• Adım 1: Fonksiyonu Anlamak

Öncelikle verilen fonksiyonu inceleyelim: $P(t) = \frac{3t^2 + 5t + 1}{t^2 + 2t + 4}$. Bu fonksiyon, sistemin performansını zamanın bir fonksiyonu olarak ifade ediyor. Mühendis, zaman çok büyüdüğünde (yani $t$ sonsuza giderken) bu fonksiyonun nasıl davrandığını merak ediyor.

• Adım 2: Limit Kavramını Hatırlamak

Bir fonksiyonun $x$ sonsuza giderkenki davranışını incelemek, limit kavramıyla ilgilidir. Yani $\lim_{t \to \infty} P(t)$'yi bulmaya çalışıyoruz. Bu, $t$ çok büyük değerler aldığında $P(t)$'nin hangi değere yaklaştığını bulmak anlamına gelir.

• Adım 3: Rasyonel Fonksiyonlarda Limit Hesabı

Rasyonel bir fonksiyonun (yani bir polinomun başka bir polinoma oranı) limitini sonsuzda bulmak için, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlere odaklanırız. Fonksiyonumuzda paydaki en yüksek dereceli terim $3t^2$ ve paydadaki en yüksek dereceli terim $t^2$ dir.

• Adım 4: Limiti Hesaplamak

Şimdi limiti hesaplayalım: $\lim_{t \to \infty} \frac{3t^2 + 5t + 1}{t^2 + 2t + 4}$. Pay ve paydayı $t^2$ ile bölebiliriz (çünkü $t$ sonsuza gidiyor ve $t^2$ sıfırdan farklı): $\lim_{t \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{t} + \frac{1}{t^2}}{1 + \frac{2}{t} + \frac{4}{t^2}}$. $t$ sonsuza giderken, $\frac{5}{t}$, $\frac{1}{t^2}$, $\frac{2}{t}$ ve $\frac{4}{t^2}$ terimleri sıfıra yaklaşır. Bu durumda limit: $\lim_{t \to \infty} \frac{3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0} = \frac{3}{1} = 3$ olur.

• Adım 5: Asimptot Türünü Belirlemek

Limitin 3'e eşit olması, $t$ sonsuza giderken $P(t)$'nin 3'e yaklaştığı anlamına gelir. Bu, $y = 3$ doğrusunun fonksiyon için bir yatay asimptot olduğu anlamına gelir. Yatay asimptot, fonksiyonun $x$ (veya bu durumda $t$) sonsuza giderken yaklaştığı yatay bir doğrudur.

• Adım 6: Sonucu Yorumlamak

Bu durumda, sistemin performansı zamanla 3'e yakınsayacaktır. Yani, sistem uzun vadede yaklaşık olarak 3 birimlik bir performans seviyesine ulaşacaktır. Bu durum, bir yatay asimptot ile ifade edilir.

Cevap C seçeneğidir.