Asimptot nedir Test 1

Bir roketin irtifasını zamana bağlı olarak modelleyen fonksiyon $h(t) = \frac{t^3 - 2t^2 + t + 5}{t^2 + 1}$ olarak verilmiştir. Burada $h(t)$ irtifayı (km), $t$ ise zamanı (dakika) göstermektedir. Roketin çok uzun süre sonraki hareket eğilimini inceleyen bir bilim insanı, fonksiyonun bir eğik asimptota sahip olduğunu belirlemiştir.
Buna göre, roketin irtifa fonksiyonunun eğik asimptot denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y = t - 2$
B) $y = t + 1$
C) $y = t - 3$
D) $y = t + 2$

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Eğik asimptot bulma konusunu hatırlayalım. Bir fonksiyonun eğik asimptotu, $x$ sonsuza giderken fonksiyonun yaklaştığı doğru demektir. Rasyonel fonksiyonlarda (yani polinomların bölümü şeklinde olan fonksiyonlarda) payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla ise eğik asimptot vardır.

• Adım 1: Eğik asimptotu bulmak için polinom bölmesi yapmamız gerekiyor. Yani $t^3 - 2t^2 + t + 5$ polinomunu $t^2 + 1$ polinomuna böleceğiz.
• Adım 2: Polinom bölmesini yapalım:

  $ \frac{t^3 - 2t^2 + t + 5}{t^2 + 1} $

  Bölme işlemini yaptığımızda bölüm $t - 2$ ve kalan $5$ olur. Yani: $ t^3 - 2t^2 + t + 5 = (t^2 + 1)(t - 2) + 7 $

  Bu durumda fonksiyonu şu şekilde yazabiliriz: $ h(t) = \frac{(t^2 + 1)(t - 2) + 7}{t^2 + 1} = t - 2 + \frac{7}{t^2 + 1} $

• Adım 3: $t$ sonsuza giderken $\frac{7}{t^2 + 1}$ ifadesi sıfıra yaklaşır. Bu durumda $h(t)$ fonksiyonu $t - 2$ doğrusuna yaklaşır.
• Adım 4: Dolayısıyla, roketin irtifa fonksiyonunun eğik asimptot denklemi $y = t - 2$ olur.

Cevap A seçeneğidir.