Asimptot nedir Test 1

Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisinin hem düşey hem de yatay asimptotu bulunmaktadır?

A) $f(x) = x^2 + 3x - 1$
B) $g(x) = \frac{x^2 - 1}{x+2}$
C) $h(x) = \frac{2x+1}{x-3}$
D) $k(x) = e^x$

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek hem düşey hem de yatay asimptotu olan fonksiyonu bulalım.

Adım 1: Asimptot Kavramını Hatırlayalım

• Düşey Asimptot: Bir fonksiyonun grafiğinin, $x$ belirli bir değere yaklaşırken dikey olarak sonsuza (+∞ veya -∞) yaklaştığı dikey doğrudur. Genellikle paydayı sıfır yapan değerlerde oluşur.
• Yatay Asimptot: Bir fonksiyonun grafiğinin, $x$ sonsuza (+∞ veya -∞) giderken yatay olarak yaklaştığı yatay doğrudur. Fonksiyonun limitinin sonsuzdaki değeridir.

Adım 2: Seçenekleri İnceleyelim

• A) $f(x) = x^2 + 3x - 1$

  Bu bir polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonlarının düşey veya yatay asimptotları yoktur. Çünkü $x$ sonsuza giderken fonksiyon da sonsuza gider.

• B) $g(x) = \frac{x^2 - 1}{x+2}$

  Bu bir rasyonel fonksiyondur. Düşey asimptot, paydayı sıfır yapan $x = -2$ değerinde bulunur. Ancak, payın derecesi paydanın derecesinden büyük olduğu için yatay asimptotu yoktur. Bunun yerine eğik asimptotu vardır.

• C) $h(x) = \frac{2x+1}{x-3}$

  Bu da bir rasyonel fonksiyondur.

  • Düşey Asimptot: Paydayı sıfır yapan $x = 3$ değerinde düşey asimptot vardır.
  • Yatay Asimptot: Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğu için, yatay asimptot pay ve paydanın baş katsayılarının oranıdır. Yani, $y = \frac{2}{1} = 2$ doğrusu yatay asimptottur.

• D) $k(x) = e^x$

  Bu bir üstel fonksiyondur. Düşey asimptotu yoktur. $x \to -\infty$ iken $e^x \to 0$ olduğundan $y = 0$ doğrusu yatay asimptotudur. Ancak soruda hem düşey hem de yatay asimptot isteniyor.

Adım 3: Sonuç

Sadece C seçeneğindeki fonksiyonun hem düşey hem de yatay asimptotu bulunmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.