Bir fonksiyonun eğik asimptotunun olması için aşağıdaki koşullardan hangisi gereklidir?
A) Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla olmalıdır
B) Payın derecesi paydanın derecesine eşit olmalıdır
C) Paydanın derecesi payın derecesinden büyük olmalıdır
D) Pay ve paydanın dereceleri fark etmez
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım inceleyerek eğik asimptotun ne zaman var olduğunu anlamaya çalışalım:
- Eğik Asimptot Nedir? Bir fonksiyonun grafiği, $x$ sonsuza giderken bir doğruya yaklaşırsa, bu doğruya eğik asimptot denir. Yani, fonksiyonun değeri ile doğrunun değeri arasındaki fark sıfıra yaklaşır.
- Rasyonel Fonksiyonlar ve Derece Kavramı: Rasyonel fonksiyonlar, $ rac{P(x)}{Q(x)}$ şeklinde ifade edilen fonksiyonlardır. Burada $P(x)$ ve $Q(x)$ birer polinomdur. Bir polinomun derecesi, içindeki en büyük üslü terimin üssüdür. Örneğin, $x^3 + 2x - 1$ polinomunun derecesi 3'tür.
- Eğik Asimptotun Varlığı İçin Koşul: Bir rasyonel fonksiyonun eğik asimptotunun olması için payın derecesi, paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla olmalıdır. Yani, $der(P(x)) = der(Q(x)) + 1$ olmalıdır. Bu durumda, polinom bölmesi yaparak eğik asimptotu $y = ax + b$ şeklinde bulabiliriz.
- Neden Payın Derecesi Paydadan 1 Fazla Olmalı? Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, yatay asimptot vardır (eğik değil). Eğer paydanın derecesi payın derecesinden büyükse, $x$ sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır, yani yatay asimptot $y=0$ olur. Payın derecesi paydanın derecesinden 1'den fazla ise, fonksiyon sonsuza gider ve eğik asimptot oluşmaz.
- Örnek: $f(x) = rac{x^2 + 1}{x}$ fonksiyonunu ele alalım. Payın derecesi 2, paydanın derecesi 1'dir. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla olduğu için eğik asimptotu vardır. Polinom bölmesi yaparsak, $f(x) = x + rac{1}{x}$ elde ederiz. $x$ sonsuza giderken $ rac{1}{x}$ sıfıra yaklaşır, dolayısıyla eğik asimptot $y = x$ doğrusudur.
Bu açıklamalara göre, bir fonksiyonun eğik asimptotunun olması için payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla olmalıdır.
Cevap A seçeneğidir.
