Asimptot nedir Test 1

g(x) = (4x³ - 2x + 1)/(x² - 9) fonksiyonunun asimptotları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) x = 3 ve x = -3 düşey asimptottur
B) Yatay asimptotu yoktur
C) Eğik asimptotu vardır
D) y = 4 yatay asimptottur

Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım çözerek asimptotlar konusunu daha iyi anlamaya çalışalım. Unutmayın, asimptotlar bir fonksiyonun grafiğinin yaklaştığı ama asla tam olarak ulaşamadığı doğrulardır.

• Adım 1: Düşey Asimptotları Bulma

Düşey asimptotlar, fonksiyonun paydasını sıfır yapan ve payı sıfır yapmayan x değerlerinde oluşur. Yani, $x^2 - 9 = 0$ denklemini çözmeliyiz.

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0$ olduğundan, $x = 3$ ve $x = -3$ değerleri paydadaki ifadeyi sıfır yapar. Paydaki ifadeyi kontrol ettiğimizde, bu değerler payı sıfır yapmadığı için $x = 3$ ve $x = -3$ düşey asimptotlardır. Bu nedenle A seçeneği doğrudur.

• Adım 2: Yatay Asimptotları Bulma

Yatay asimptotları bulmak için, x sonsuza giderken fonksiyonun limitini incelemeliyiz. Fonksiyonumuz $g(x) = \frac{4x^3 - 2x + 1}{x^2 - 9}$. Payın derecesi (3), paydanın derecesinden (2) büyük olduğu için yatay asimptot yoktur. Bu nedenle B seçeneği doğrudur.

• Adım 3: Eğik Asimptotu Bulma

Payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla ise eğik asimptot vardır. Bizim fonksiyonumuzda da payın derecesi (3), paydanın derecesinden (2) 1 fazla olduğu için eğik asimptot vardır. Bu nedenle C seçeneği doğrudur.

• Adım 4: Yatay Asimptot İddiasını Değerlendirme

B seçeneğinde yatay asimptot olmadığı belirtilmişti. D seçeneğinde ise y = 4 yatay asimptottur deniliyor. Bu iki ifade birbiriyle çelişmektedir. Zaten 2. adımda yatay asimptot olmadığını göstermiştik. Bu nedenle D seçeneği yanlıştır.

Cevap D seçeneğidir.