Asimptot nedir Test 1

lim┬(x→∞)〖(5x² - 2x + 3)/(2x² + x - 1)〗 limitinin değeri aynı zamanda fonksiyonun yatay asimptotudur. Bu değer kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2/5
D) 5/2

Bu soruyu çözmek için, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terime odaklanmalıyız. Çünkü $x$ sonsuza giderken, daha düşük dereceli terimlerin etkisi azalır.

• Adım 1: Pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimi belirle.

  Paydaki en yüksek dereceli terim $5x^2$, paydadaki en yüksek dereceli terim ise $2x^2$ dir.

• Adım 2: Pay ve paydayı en yüksek dereceli terime böl.

  Bu durumda, hem payı hem de paydayı $x^2$ ile böleceğiz:

  $\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2 - 2x + 3}{2x^2 + x - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}$

  Bu da sadeleşince:

  $\lim_{x\to\infty} \frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}$ olur.

• Adım 3: $x$ sonsuza giderken limitleri değerlendir.

  $x$ sonsuza giderken, $\frac{2}{x}$, $\frac{3}{x^2}$, $\frac{1}{x}$ ve $\frac{1}{x^2}$ terimleri 0'a yaklaşır. Bu nedenle:

  $\lim_{x\to\infty} \frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} = \frac{5 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{5}{2}$ olur.

• Adım 4: Sonucu yorumla.

  Limitin değeri $\frac{5}{2}$'dir. Bu değer aynı zamanda fonksiyonun yatay asimptotudur.

Cevap D seçeneğidir.