Asimptot nedir Test 1

h(x) = (x² - 4)/(x - 2) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) x = 2 noktasında düşey asimptot vardır
B) x = -2 noktasında düşey asimptot vardır
C) Sadece yatay asimptot vardır
D) x = 2 noktasında asimptot yoktur

Bu soruyu çözmek için öncelikle fonksiyonu sadeleştirmeye çalışalım. Fonksiyonumuz:

$h(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

• Adım 1: Payı Çarpanlarına Ayırma

Paydaki ifade, $x^2 - 4$, iki kare farkıdır. Bu ifadeyi $(x - 2)(x + 2)$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.

Yani, $h(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

• Adım 2: Sadeleştirme

Pay ve paydada ortak olan $(x - 2)$ çarpanını sadeleştirebiliriz. Ancak bu sadeleştirme sadece $x \neq 2$ olduğunda geçerlidir.

Sadeleştirdikten sonra, $h(x) = x + 2$, $x \neq 2$ koşuluyla.

• Adım 3: Asimptotları İnceleme

Sadeleştirilmiş fonksiyon $h(x) = x + 2$ bir doğrudur. Doğrusal fonksiyonların düşey veya yatay asimptotları yoktur. Ancak, ilk fonksiyonda $x = 2$ değeri için bir tanımsızlık vardı. Sadeleştirme yaparken bu durumu göz ardı etmemeliyiz.

$x = 2$ noktasında, orijinal fonksiyon tanımsızdır çünkü paydayı sıfır yapar. Ancak, sadeleştirilmiş fonksiyon $x = 2$ için tanımlıdır ve değeri $2 + 2 = 4$'tür. Bu durum, $x = 2$ noktasında bir "delik" (hole) olduğunu gösterir, yani bir süreksizlik vardır ama asimptot yoktur.

• Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme
• A) x = 2 noktasında düşey asimptot vardır: Yanlış, çünkü $x=2$ de düşey asimptot yok, delik var.
• B) x = -2 noktasında düşey asimptot vardır: Yanlış, çünkü $x=-2$ de fonksiyon tanımlı.
• C) Sadece yatay asimptot vardır: Yanlış, çünkü ne yatay ne de düşey asimptot var.
• D) x = 2 noktasında asimptot yoktur: Doğru, çünkü $x=2$ de sadece bir delik (süreksizlik) var.

Cevap D seçeneğidir.